דעצימלס

ס'קומט מיר צו שמייכלען אז כ'גיי שרייבן וועגן דעצימלס אין "וויסנשאפט" פארום. דעצימלס, decimals בלע"ז, איז א פשוט'ער יסוד אין מאטעמאטיק וואס מ'לערנט אין די יונגע יארן. למעשה איז דאס א סוגיא וואס ווייניג היימישע אידן קענען, און עס איז כאילו א "העכערע" סארט וויסנשאפט.

א דעצימל איז א פינטעלע אינמיטן א סעריע ציפערן וואס זאגט אז פון דא און ווייטער, דאס הייסט די ציפערן וואס געפונען זיך רעכטס פון דעם פינטעלע, פאנגען זיך אן ציפערן וואס יעדער ציפער וועט זיין ווייניגער פון א גאנצן נומער. חוץ פון דעם כלל זענען דעצימלס מיט גארנישט אנדערש ווי געווענליכע ציפערן.

וויאזוי שפילט זיך דאס אויס? לאמיר נעמען א נומער: 111.11. דאס איז הונדערט עלף, פוינט עלף. די ערשטע 1 אויף דער לינקער זייט רעפרעזענטירט 100, די צווייטע איז 10, די דריטע איז 1. זאת אומרת אז ווען מיר רוקן זיך רעכטס פון איין ציפער צו דעם נעקסטן וועט עס אייביג רעפרעזענטירן א צענטל פון דעם פריערדיגן נומער. מיט דעם חשבון קען מען גיין ווייטער: די פערטע 1 איז א צענטל און די פינפטע 1 איז א הונדערטסטל. איין צענטל איז די זעלבע זאך ווי צען הונדערטסטלעך, קומט אויס אז נאך דעם דעצימל איז דא 11 הונדערטסטלעך.

יעצט שטעלט אייך פאר אז עס שטייט 111.112. די לעצטע 2 איז אויפ'ן פלאץ פון די טויזנטסטלעך און דאס זאגט אז בנוסף צו די עלף הונדערטסטלעך איז אויך דא צוויי טויזנטסטלעך. 11 הונדערטסטלעך איז די זעלבע זאך ווי 110 טויזנטסטלעך, קומט אויס אז מיר פארמאגן 112 טויזנטסטלעך.

וואס טוט זיך אבער אויב אנשטאט די צוויי שטייט אזוי: 111.110. וואס קומט די לעצטע 0 צולייגן? דער ענטפער איז: גארנישט. עס איז נישט דא קיין שום סיבה צו לייגן דארטן א 0, און עס איז גענוי ווי איינעם וואס האט געטרונקען 3 כוסות וויין זאל שרייבן "כ'האב געטרונקען 00003 כוסות וויין." ס'איז טעכניש א ריכטיגע נומער, אבער וואס זענען די זעראס מוסף? און אנדערע ווערטער, זעראס אויף דער רעכטער זייט נאך דעם דעצימל איז פונקט ווי זעראס אויף דער לינקער זייט פאר דער דעצימל. דער ערשטער נומער פאר די דעצימלס מוז זיין א ציפער פון 1-9, און דאס זעלבע דער לעצטער נומער נאך די דעצימלס מוז אויך זיין א ציפער פון 1-9.

פארוואס זאג איך אזעלכע פשוט'ע זאכן? ווייל כ'האב געלייענט די וואך אין "דער בלאט" אן עדיטאריעל איבער מציצה בפה. דער שרייבער ברענגט ארויס ווי ווייניג פעלער ווערן געשלאגן מיט אינפעקציעס א דאנק ברית מילה. זאגט דער רעדאקטאר פונעם בלאט אזוי:

און איך שטיי און איך וואונדער מיך פארוואס ער האט נישט געקענט לייגן נאך עטליכע זעראס לפניה ולאחריה.

היינט איז אויך יומא קא גרים, זייענדיג 3/14 לויט דעם סעקולערן דאטום. דער טאג ווערט געפייערט ווי "פיי טאג", וואס איז א מחותן מיט דעצימלס.

א שטיקל לימוד זכות בדרך אפשר, אויב רעכנסטו אויס וויפיל פראצענט 8.4 איז פון הונדערט טויזענט, קומט עס אויס 0.008400000000000001. ס'קען אפשר זיין אז דער שרייבער האט אזוי געשריבן, און דער זעצער האט אפגעמאכט אז ער וויל נישט אריינלייגן אזוי פיל נומבערס. ס'איז ווייטער אמעראצעס, אבער אפשר נישט דעם שרייבער'ס.

ראובן: ייש"כ. און דו האסט געוואלט אז דער וואס שרייבט דעם עדיטאריעל פעידזש אין ..."בלאט"...הרב שמואל שלמה טעללער זאלל וויסן אדער אנערקענען אזא מושג ווי ..."פיי"... אדער אז זיינע ליינער זאללן וויסן וואס דאס איז. אדער וויאזוי מ'עסט עס...! זיין גאנצע חכמה באשטייט פון האקן אויפ'ן דף היומי און אויפווייזן וואספארא ..."נאר" ביבי נתניהו איז...!

אינטערעסאנט אז די רמב"ם אין פירוש המשניות אויף עירובין רעדט שוין וועגן פיי און זאגט אז מ'קען קיינמאל נישט צוקומען צום ריכטיגן נאמבער פון פיי. מאטעמאטישן'ס האבן פראבירט מיט קאמפיוטערס ווי מ'קען צולייגן אן א שיעור דעסימעלס פלעצער און מ'האט טאקע נישט געקענט אנקומען צו א נאמבער פאר פיי.
ס'דא וואס זאגן אז די רמב"ם איז די ערשטע פלאץ ווי ס'ווערט דערמאנט דערפון

שמעון וואלף האט געשריבן:אינטערעסאנט אז די רמב"ם אין פירוש המשניות אויף עירובין רעדט שוין וועגן פיי און זאגט אז מ'קען קיינמאל נישט צוקומען צום ריכטיגן נאמבער פון פיי. מאטעמאטישן'ס האבן פראבירט מיט קאמפיוטערס ווי מ'קען צולייגן אן א שיעור דעסימעלס פלעצער און מ'האט טאקע נישט געקענט אנקומען צו א נאמבער פאר פיי.
ס'דא וואס זאגן אז די רמב"ם איז די ערשטע פלאץ ווי ס'ווערט דערמאנט דערפון

קענסט ביטע צוצייכענען א מקור פון דעם? איך זאג נישט אז נישט, כבין נייגעריג צו די רמבם האט טאקע געוואוסט פון פיי צו זאגן. ס׳איז גאנץ מעגליך ווייל מיר ווייסן שוין פון דעם אסאך פאר די רמב״ם׳ס צייטן. אבער נאכאלץ ס׳איז אינטערסאנט צו זעהן וואס די רמבם זאגט אויף דעם אין די ארגעניעלע מקור.

אבער די רמבם איז זיכער נישט די ערשטע מקור פון פיי! זיכער נישט! אסאך פאר די רמב״ם׳ס צייטן האט מען שוין גערעדט פון דעם, די פארצייטישע מצרים און כיענעזער רעדן שוין פון דעם הונדרעטער יאהרן פאר די רמב״ם!

געפילטע פיש האט געשריבן:א שטיקל לימוד זכות בדרך אפשר, אויב רעכנסטו אויס וויפיל פראצענט 8.4 איז פון הונדערט טויזענט, קומט עס אויס 0.008400000000000001. ס'קען אפשר זיין אז דער שרייבער האט אזוי געשריבן, און דער זעצער האט אפגעמאכט אז ער וויל נישט אריינלייגן אזוי פיל נומבערס. ס'איז ווייטער אמעראצעס, אבער אפשר נישט דעם שרייבער'ס.

ס'איז גוט בדרך צחות. למען האמת, כ'האב נישט קיין געדולד אויסצורעכענען פינקטליך וואס דער 1 רעפרעזענטירט, אבער ס'איז מסתמא בערך א טריליאנסטל פון א טריליאנסטל. עס האט נישט קיין שום זין צו דרוקן דרייצן זעראס ווייל מ'וויל צולייגן דעם טריליאנסטל פון א טריליאנסטל פון א שאנס בנוסף צו די 84 צען-טויזנטסטלעך.

ראובן האט געשריבן:

געפילטע פיש האט געשריבן:א שטיקל לימוד זכות בדרך אפשר, אויב רעכנסטו אויס וויפיל פראצענט 8.4 איז פון הונדערט טויזענט, קומט עס אויס 0.008400000000000001. ס'קען אפשר זיין אז דער שרייבער האט אזוי געשריבן, און דער זעצער האט אפגעמאכט אז ער וויל נישט אריינלייגן אזוי פיל נומבערס. ס'איז ווייטער אמעראצעס, אבער אפשר נישט דעם שרייבער'ס.

ס'איז גוט בדרך צחות. למען האמת, כ'האב נישט קיין געדולד אויסצורעכענען פינקטליך וואס דער 1 רעפרעזענטירט, אבער ס'איז מסתמא בערך א טריליאנסטל פון א טריליאנסטל. עס האט נישט קיין שום זין צו דרוקן דרייצן זעראס ווייל מ'וויל צולייגן דעם טריליאנסטל פון א טריליאנסטל פון א שאנס בנוסף צו די 84 צען-טויזנטסטלעך.

ווילסט וויסן די עכטעט תירוץ ?

עק האט עס אריינגעקלאפט און זיין קאלקיולעיטאר און אזוי האט עס דער מאשין ארויסגעשפיגן.

די רמב"ם איז באקאנט, איך וואלט אבער משער געווען אז די רמב"ם האט נישט געמיינט דא צוזאגן אז פ"י איז א אירעשיענאל נומבער, די רמב"ם מיינט סך הכל צו זאגן אז מ'קען נישט אויסרעכענען די גענויע רעשיא פונעם נומבער ווייל מיר ווייסן דאס נישט, און דאס איז פון אייביג אן געווען אמת, קיינער האט קיינמאל נישט געוויסט די גענויע רעשיא, הגם ס'איז משמע די לשון פון רמב"ם וואס ער זאגט אז די נומבער איז בטבעו אוממעגליך צו וויסן גענויע, איז שווער צו זאגן אז די רמב"ם האט געקענט וויסן אויף זיכער אז סאיז אירעשיענאל, בשעת ער גיט נישט קיין שום אויפווייז. אויפגעוויזן אז ס'איז אירעשיענאל איז עס טאקע אינגאנצן פאר צוויי הונדרעט יאר צוריק

שמעון וואלף האט געשריבן:מאטעמאטישן'ס האבן פראבירט מיט קאמפיוטערס ווי מ'קען צולייגן אן א שיעור דעסימעלס פלעצער און מ'האט טאקע נישט געקענט אנקומען צו א נאמבער פאר פיי.

דאס אז מען קען נישט צוקומען צו דער גענויער נומער פון פּיי איז נישט ווייל מען האט פרובירט מיט א קאמפיוטער און מען האט "טאקע" נישט געקענט. מאטעמאטיק ארבעט נישט אזוי. פילייכט איז דער קאמפיוטער נאך נישט געלאפן גענוג א לאנגע צייט? פאקטיש, דאס אז פיי איז אן אומראציאנאלע נומער (דאס מיינט אז מען קען דאס נישט רעפרעזענטירן ווי א ראציאן - א רעשיא - פון צוויי גאנצע נומערן) און איז דעריבער בעל כרחך א נומער מיט אן ענדלאזע קייט פון נומערן נאכן דעסימעל פוינט איז שוין איבערגעוויזן געווארן מיט א מאטעמאטישער פרוף, לאנג בעפאר קאמפיוטערס האבן עקזעסטירט (זע דעם וויקי פעידזש). נאר וואס דען? פאר פאָן, און אויך וויבאלד דאס איז א גוטער וועג אויסצוטעסטן סופערקאמפיוטערס, האבן מאטעמאטיקער דאך געוואלט וויסן ווי מער נומערן פון פיי און זיי האבן דעריבער געלאזט לויפן א קאמפיוטער וואס זאל דאס אויסרעכענען. מער איבער דעם, זע דעם גאר אינטערעסאנטן סייענטיפיק אמעריקען ארטיקל.

ווי אנדערע האבן שוין געשריבן, איז דא א שטיקל מיסקאנסעפט מיט די ספעציעליטי פון דער נאמבער "פיי". פיי ווי אלע רעישענאל נומערן קען נישט ווערן געשריבן אין א דעצימעל רעפרעזענטעישן.

און ביי דע וועי, עס איז זענען פארהאן אסאך מער אירעישענל נומערן ווי רעישענעל נומערן. (בדרך אגב, זוכנדיג אין די ארכיוון פון קאווע שטיבל, זעה איך אז פארוואס? האט שוין אמאל געשריבן א מאטעמאטישע הוכחה אז די סקווער רוט פון צוויי איז אן אירעישנעל נומער.

אבער א אי-רעישענעל נומער איז נישט דוקא איינס וואס קען נישט ווערן רעפרעזענטירט אין א דעצימעל בעיס רעפרעזעניטעישן, נאר אין יעדע סארט וועג וועט עס נישט קענען ווערן אראפגעשריבן. עס קען נישט ווערן רעפרעזענטירט ווי א פרעקשן פון צוויי נאטורליכע נומערן, (וואס בעצם דאס איז די דעפינאציע פון אן אי-רעישענאל נומער).

דאגעגן, זענען פארהאן אן א שיעור פון רעישענעל נומערן וואס קענען אויך נישט ווערן רעפרעזענירט אין א פייניט וועג דורך די דעצימעל בעיס. ווי למשל א דריטל.

נאך א נקודה - דער רמב"ם שרייבט טאקע אז דאס איז אן איררעישנאל נומער, אבער ער ברענגט נישט קיין שום הוכחה דערצו, אין שפעטערע יארן האבן עס מאטעמאטיקער אויפגעוויזן.

ועוד יש להאריך הרבה בזה.

שבת אחים האט געשריבן:

שמעון וואלף האט געשריבן:אינטערעסאנט אז די רמב"ם אין פירוש המשניות אויף עירובין רעדט שוין וועגן פיי און זאגט אז מ'קען קיינמאל נישט צוקומען צום ריכטיגן נאמבער פון פיי. מאטעמאטישן'ס האבן פראבירט מיט קאמפיוטערס ווי מ'קען צולייגן אן א שיעור דעסימעלס פלעצער און מ'האט טאקע נישט געקענט אנקומען צו א נאמבער פאר פיי.
ס'דא וואס זאגן אז די רמב"ם איז די ערשטע פלאץ ווי ס'ווערט דערמאנט דערפון

קענסט ביטע צוצייכענען א מקור פון דעם? איך זאג נישט אז נישט, כבין נייגעריג צו די רמבם האט טאקע געוואוסט פון פיי צו זאגן. ס׳איז גאנץ מעגליך ווייל מיר ווייסן שוין פון דעם אסאך פאר די רמב״ם׳ס צייטן. אבער נאכאלץ ס׳איז אינטערסאנט צו זעהן וואס די רמבם זאגט אויף דעם אין די ארגעניעלע מקור.

אבער די רמבם איז זיכער נישט די ערשטע מקור פון פיי! זיכער נישט! אסאך פאר די רמב״ם׳ס צייטן האט מען שוין גערעדט פון דעם, די פארצייטישע מצרים און כיענעזער רעדן שוין פון דעם הונדרעטער יאהרן פאר די רמב״ם!

שבת אחים: נו, ער (שמעון וואלף) מיינט צו זאגן אז די רמב"ם איז געווען די ערשטע אידישע מקור וועלכער רעדט פון פיי...
דו ביסט דאך א וואוילער איד. דו מעגסט האבן אזויפיהל אידישע שטאלץ אז אונז האבן אויכעט געהאט גרויסע סייענטיסטן און וויסנשאפטלער. דו דארפסט נישט זיין אזוי געפאללן ביי דיר אז די גאנצע וועלט'ס חכמה באשטייט נאר פון די גוי'אישע סייענטיסטן. אלבערט איינשטיין איז אויכעט געווען א איד...He was a credit to his race...

As I was doing my homework today it occurred to me the following question:

How do I find out what fraction a certain decimal or percentage is? Eg what fraction is 0.375?

I know that it is 0.375/1 but I want to find out what the fraction will be if the denominator is say divided differently. Of 8 8ths. I.e. If you ask me convert 3 8ths, that is 3/8, into decimal or percentages, I know how to do it: by asking myself how many times does 8 go into 3 but what if you ask me the other way around? "Convert 0.375 into fractions" how can I find that this is also = to 3/8?

Earlier, I knew to ask myself how many times does 8 go into 3 when you asked me to convert 3 8ths, that is 3/8, into decimal or percentages, so I now ask myself the same, how many 8s into 1. So 1÷8 (×3)= 0.375

But still how do I know to pick the number 8 to divide one by it? What's the bloody formula? Does 0.375 give me a hint that this digit is 3 8ths of a whole (Due to rounding up)?

Well, there isn't always a bloody formula, I found out today. Listen to this:

Turns out, for thousands of years, the Greeks and later mathematicians struggled struggled to find fractions for all sorts of decimals and couldn't figure it out. Until this dude came on the scene and solved the problem for but was labelled as heretic and subsequently made with a head shorter. He was the first to discover irrational numbers , but the Greeks killed him because they believed it was heretical to believe in irrational numbers. He also proved that not all numbers can be written as a fraction.

He belonged to a שיטה named Pythagrean mathematikoi. It was a school/cult based on mathematics
He was like a rosh yeshivah of an elite mathematics schools. Students were sworn to secrecy. They believed that the plain masses shouldn't know the secrets of maths. Hippasus was a rebellious student and taught math to the people. So they killed him. הי"ד

m https://en.wikipedia.org/wiki/Hippasus?wprov=sfla1 m

m https://youtu.be/sbGjr_awePE m



Sent from my SM-G903F using Tapatalk

זבולון האט געשריבן:
און ביי דע וועי, עס איז זענען פארהאן אסאך מער אירעישענל נומערן ווי רעישענעל נומערן. (
.

ביסט נישע ממש גערעכט דא. דער צאל פון רעישענעל און אי-רעישענעל נומערס זענען אינפינעט (אין-סוף) אוז קען מען נישט בעצם זאגען אז איינס איז מער ווי דער צווייטער. נאר אזויפיהל: רעישענשל נומערס הייסען ״געציילטע״ אינפינעט (countable infinity) און אי-רעישינעל זענען אומגעציילט. מען קען נאך א סאך מאריך זיין.

m https://youtu.be/elvOZm0d4H0 m

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

Engager האט געשריבן:

זבולון האט געשריבן:
און ביי דע וועי, עס איז זענען פארהאן אסאך מער אירעישענל נומערן ווי רעישענעל נומערן. (
.

ביסט נישע ממש גערעכט דא. דער צאל פון רעישענעל און אי-רעישענעל נומערס זענען אינפינעט (אין-סוף) אוז קען מען נישט בעצם זאגען אז איינס איז מער ווי דער צווייטער. נאר אזויפיהל: רעישענשל נומערס הייסען ״געציילטע״ אינפינעט (countable infinity) און אי-רעישינעל זענען אומגעציילט. מען קען נאך א סאך מאריך זיין.

ראובן איז יא גערעכט. די אינפיניטי פון ציילבארע נומערן איז קלענער ווי די אינפיניטי פון אומציילבארע נומערן, עכ"פ אין קלאסישע מאטעמאטיקס (עיין דא m http://mathforum.org/library/drmath/view/74268.html m )

חכם המדות האט געשריבן:ראובן איז יא גערעכט.

מיינסט מיין אינגערער ברודער, זבולון.

געפילטע פיש האט געשריבן:א שטיקל לימוד זכות בדרך אפשר, אויב רעכנסטו אויס וויפיל פראצענט 8.4 איז פון הונדערט טויזענט, קומט עס אויס 0.008400000000000001. ס'קען אפשר זיין אז דער שרייבער האט אזוי געשריבן, און דער זעצער האט אפגעמאכט אז ער וויל נישט אריינלייגן אזוי פיל נומבערס. ס'איז ווייטער אמעראצעס, אבער אפשר נישט דעם שרייבער'ס.

ענליך צו דעם [אין די שמועס פון די איבעריגע זעראס] איז די קאנצעפט פון סיגניפיקענט פיגורס. דאס מיינט די דיזשיטס אין די נומער וואס זאגן אונז עפעס אינטרעסאנט.

דהיינו, יעדע נישט-זערא דיזשיט איז אלעמאל סיגניפיקענט ווייל עס זאגט אונז (דאך) עפעס וויכטיג, משא״כ מיט די זעראס וועט זיך עס ווענדען. למשל די נומער 1020 האט דריי סיגניפיקענט דיזשיטס, 102, ווייל דאס זאגט אונז אז עס האט טויזענט און צוואנציג ״וואטעווער״. משא״כ די לעצטע/רעכטע זערא איז נישט סיגניפיקענט, ווייל איך ווייס נישט צו ס׳איז פונקטליך 1020, אדער, למשל, 1024 וואס מ׳האט געגעבען א בערך צו 1020. (חוץ טאמער שרייבט מען 1020.0 וואס דעמאלטס זענען אלע דיזשיטס סיגניפיקענט, ווייל איך זעה יעצט אז מ׳מיינט עס פונקטליך.) פארשטייט זיך אז אלע זעראס צו די לינקע זייט וועלן אלעמאל זיין אינסיגניפיקענט.

ביי דעצימלס ארבעט סיגניפעקענס פארקערט. די זעראס צו די רעכטע זייט (אויב עס זענען נישט דא קיין געהעריגע נישט-זערא דיזשיטס אינצווישן/ביי די געהעריגע נומערן) זענען נישט סיגניפיקענט, וועגן אן ענליכע סיבה; זיי זאגן נאר די רעלאטיווע גרויסקייט/קליינקייט פון די מדידה [אנצוקומען צו די מיליאנסטעל/ביליאנסטעל וכדומה]. משא״כ זעראס צו די רעכטע זייט זענען יא סיגניפיקענט, ווייל עס זאגט אונז ביז וואו ווייט די מדידה איז גערעכענט אקוראט.

ס׳איז א לענגערע שמועס. איך האב עס נאר פשוט געשריבן אלס אן אינטרעסאנטע הערה.

(ניין. איך גלייב נישט אז דאס איז געווען די כוונה פון די בלאט בכלל...)

מ׳קען אויסברייטערן דעם שמועס פון דעצימלס, וואס ראובן האט אזוי פיין מסביר געווען, און דאס מרחיב זיין מסביר צו זיין סייענטיפיק נאטעישאן. דאס איז א מעטאדע אראפצושרייבן גאר גרויסע אדער גאר קליינע נומערן אין א קורצן פארמאט.

מען דארף צום ערשט באטאנען אז דאס אז די דעצימל סיסטעם ארבעט און איז באזירט אז יעדע פלעיס וועליו איז צען מאל אזוי גרויס ווי די פלעיס וועליו פאר איר/צו איר רעכטע זייט, איז די סיבה אז מען קען גאר גרינג רעכענען למשל אזא סארט פראבלעם, 123.45x10=1,234.5; מען האט גערוקט דעם דעצימל פינטל איין פלאץ צו רעכטס. דאס איז ווייל איך האב געמאכט די גאנצע נומער מיט צען מאל גרעסער, וואס דאס איז וואס די דעצימל פלעיס וועליו סיסטעם איז מיוסד אויף; א נומער/דיזשיט/פלאץ איז צען מאל גרעסער ווי די נומער/פלאץ צו זיין רעכטע זייט און צען מאל קלענער פון די נומער/פלאץ צו זיין לינקע זייט. דאס זעלבע אויב האב איך 123.45x100 איז דאס 12,345, ווייל איך האב דאס געמאכט מיט צוויי מאל צען [100] מאל גרעסער, און דעריבער האב איך גערוקט די דעצימל פינטל צוויי פלעצער צום רעכטס [12,345.0] און געמאכט דעם נומער מיט צוויי מאל צען מאל גרעסער; וואס דאס איז צוויי דעצימל פלעצער.

די זעלבע זאך וועט ארבעטן אויף פארקערט מיט דיוויזשאן. למשל 10÷123.4 וועט זיין א צענטל פונ׳ם פריערדיגן נומער, וואס מיינט אז מען רוקט די דעצימל פינטל איין פלאץ צו לינקס, 12.34, וואס מאכט דאס א צענטל ווייניגער, וכן הלאה [100÷123.4=1.234 וכו׳].

מען דארף אויך מסביר זיין די קאנצעפט פון עקספאנענטס (מ׳האט שוין ארומגערעדט דערפון אין אן אנדערע אשכול). אין קורצן, אויב וויל איך מאלטיפלייען א נומער ביי זיך אליין מערערע מאל, למשל 3x3x3x3x3x3, קען איך דאס שרייבן 3 מיט א קליינע 6 פון אויבן, וואס זאגט מיר אז די נומער 3 טוט מען מאלטיפלייען ביי זיך אליין 6 מאל [טאמער קען מען נישט שרייבן א קליינע נומער פון אויבן, שרייבט מען אזוי 6^3, וואס דאס ווייזט כאילו דער 6 איז קלענער און העכער אויף די לינקע זייט].

נאך א קליינע הקדמה, אויב א פאזיטיווע עקספאנענט ווייזט אויף וויפיל מאל איך טוה מאלטיפלייען א נומער ביי זיך אליין, וועט א נעגאטיווע עקספאנענט ווייזן וויפיל מאל איך דיווייד א נומער ביי זיך אליין. למשל, 6-^3 וועט מיינען 3÷3÷3÷3÷3÷3.

(מיט דעם קען פארשטיין דעם באקאנטן כלל פארוואס אן עקספאנענט 1 וועט אלעמאל מיינען דעם עצם נומער און אן עקספאנענט פון 0 וועט דער ענטפער אלעמאל זיין 1. ווייל למשל 2^3 מיינט 3x3 [צוויי מאל שרייבן די נומער 3 אין מאלטיפליקעישאן], וועט 1^3 מיינען פשוט 3 [איין מאל געשריבן]. אויב גייט מען נאך ווייטער צוריקצווועגס, 0^3, וועט דאס דאך מיינען 3÷3 [די נומער דיוויידעד איינמאל ביי זיך אליין] וואס דאס איז 1. ווען מען גייט נאך ווייטער צוריקצווועגס נאך 0, ניגאטיווע נומערן, מיינט דאס נאכאמאל דיוויידען וכן הלאה [עס וועט שוין ווערן א פרעקשאן כמובן].

מיט דעם קען מען אויך פארשטיין פארוואס אין די ארדער אף אפערעישאנס איז רעכענען עקספאנענטס פון די סאמע ערשטע (נאך פארענטעסיס). ווייל יעדע סתם נומער דו זעהסט האט שוין ממילא אן עקספאנענט וואס דו סאלווסט בלא יודעים; אן עקספאנענט פון 1.)

וויבאלד, ווי ערווענט, איז אונזער נומער סיסטעם באזירט אויף גרעסער/קלענער ביי צען, וועט ביי עקספאנענטס אויף די נומער 10 זיין גאר גרינג אויסצורעכענען. למשל, 2^10 מיינט צען מאל צען וואס דאס איז 100. איך קען דאס באטראכטן אז מען האט גערוקט די דעצימל פלאץ צוויי פלעצער צו רעכטס נאך דעם 1. אזוי ווייטער 3^10 וועט זיין 1000; דריי פלעצער גערוקט צו רעכטס, וכן הלאה.

מיט דאס אלעמען קען מען אראפשרייבן ריזיגע נומערן אין א גאר קורצן פארמאט. למשל, אויב האב איך 12,000,000, קען איך דאס אראפשרייבן אזוי 7^10 מאל (x) 1.2; דאס מיינט אז איך וועל רוקן דעם דעצימל פינטל זיבן מאל (אזוי ווי די נומער פונ׳ם עקספאנענט) צו רעכטס צוריקצובאקומען מיין אריגינעלען נומער. די זעלבע זאך פארקערט, אויב האב איך 00000012. קען איך דאס שרייבן 7-^10 מאל (x) 1.2; מיינענדיג איך זאל רוקן דעם דעצימל פינטל זיבן מאל (אזוי ווי די נומער פונ׳ם עקספאנענט) צום לינקס (אזוי ווי ביי דיוויזשאן וככל הנ״ל) צו באקומען דעם נומער. דאס איז פארשטייט זיך גאר אנגענעם ביי גאר גרויסע נומערן, למשל 102^10 מאל (x) 7.33. די קאנווענשאן וועט אלעמאל זיין ביי סייענטיפיק נאטעישאן צו שרייבן איין נומער צום לינקן [גאנצע נומערן] זייט פונ׳ם דעצימל פינטל און די איבעריגע [נישט-זערא] נומערן צום רעכטן זייט.

אינעם שמועס פון עקספּאנענטס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום קאטאלאן קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז 2³ וואס איז 8 און 3² וואס איז 9, איז די איינציגסטע מאל וואס דורכ׳ן שרייבן צוויי אנדערע עקספּאנענטס קום איך אן צו א חילוק פון נאר איין צווישן זיי צוויי. דאס איז קאָנדזשעקשורד געווארן דורך דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער יוּדזשיִן טשארלס קאטאלאן און אויפגעוואוזן געווארן בערך 150 יאר שפעטער דורך דער רומענישער מאטעמאטיקער פּרעדא מיהאלישׁוּ. דער רלב״ג האט אויך געהאט דערמאנט עפעס אין דעם ענין.

נאך ברייטער אין דעם איז דא דעם נאך אפענע שאלה פונעם אינדיאנער מאטעמאטיקער סוּבּאַיאַ פּילאַי וואס רופט זיך על שמו פּילאַי’ס קאָנדזשעקשור. דאס פרעגט נאר אויב די חילוק אין נומערן צווישן עני צוויי סקווערס (פון גאנצע נומערן; פּערפעקט סקווערס) איז פיניט. דהיינו, למשל, איז דא א שיעור צו וויפיל מאל 2 וועט זיין די חילוק צווישן די רעזאלט פון איין עקספּאָנענט צו א צווייטע? ער האט געקלערט אז יא.

ענליך צו דעם גאנצן שמועס איז דאס אז די איינציגסטע מאל וואס ארומטוישן די נומערן פון די בּעיס מיט׳ן עקספּאָנענט און עס וועט נאך אלס זיין די זעלבע ענטפער איז ביי 2 און 4. דהיינו, 2⁴ און 4² וועלן ביידע זיין 16. דאס איז די איינציגסטע מאל וואס עס איז אזוי ביי גאנצע נומערן (אויב נעמט מען אבער אויך אריין אין כלל נישט גאנצע נומערן (וואס, אגב, א נישט גאנצע נומער עקספּאָנענט מיינט א רוּט: די דענאמינעיטאר וועט זיין די מספר פון די רוּט [2 פאר א סקווער רוּט, 3 פאר א קיוּבּיק רוּט, 4 פאר א 4 רוּט [א נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער מאל די זעלבע נומער וועט אנקומען צו די נומער אין די רוּט], און די נוּמערעיטאר וועט זיין די עקספּאָנענט פון די נומער אין די רוּט [וואס מ׳טוהט פאר׳ן נעמען די רוּט]) איז דא אן אינפיניט צאל פון נומערן וואס עס גייט יא זיין אמת דערביי).

‏דא הא׳מיר געשריבן נאך אן אינטרעסאנטן קשר צווישן די סקווער [עקספּאָנענט פון 2] און קיוּבּ [עקספּאָנענט פון 3].

נהורא נפישא האט געשריבן:די רמב"ם איז באקאנט, איך וואלט אבער משער געווען אז די רמב"ם האט נישט געמיינט דא צוזאגן אז פ"י איז א אירעשיענאל נומבער, די רמב"ם מיינט סך הכל צו זאגן אז מ'קען נישט אויסרעכענען די גענויע רעשיא פונעם נומבער ווייל מיר ווייסן דאס נישט, און דאס איז פון אייביג אן געווען אמת, קיינער האט קיינמאל נישט געוויסט די גענויע רעשיא, הגם ס'איז משמע די לשון פון רמב"ם וואס ער זאגט אז די נומבער איז בטבעו אוממעגליך צו וויסן גענויע, איז שווער צו זאגן אז די רמב"ם האט געקענט וויסן אויף זיכער אז סאיז אירעשיענאל, בשעת ער גיט נישט קיין שום אויפווייז. אויפגעוויזן אז ס'איז אירעשיענאל איז עס טאקע אינגאנצן פאר צוויי הונדרעט יאר צוריק

נהורא נפישא: ראובן'ס נקודה מיט אויפמאכן דעם אשכול איז געווען אז דער עדיטאר פון בלאט קען נישט רעכענען. ווייל ער ווייסט פון דעצימלס בחייכון וביומכון צו זאגן. זיכער. אז מ'ווארפט ספיטבאלס אויפ'ן ענגליש טיטשער און מ'רופט איהם שייגעץ, פון וואו זאלל מען קענען רעכענען. אדער ענגליש...!

נאר אין פראקטישן זין וועט קיינער נישט ארומגיין אויסרעכענען אפילו די10,000'סטע חלק פון א נאמבער. ווייל ס'איז דא אן עצה.מ'מאכט עס רונדעכיג ביז דעם נעקסטן נאמבער. ד.ה. אז למשל אויב איך האב א נאמבער34.334567 שרייב איך34.34...!

berlbalaguleh האט געשריבן:נאר אין פראקטישן זין וועט קיינער נישט ארומגיין אויסרעכענען אפילו די10,000'סטע חלק פון א נאמבער. ווייל ס'איז דא אן עצה.מ'מאכט עס רונדעכיג ביז דעם נעקסטן נאמבער. ד.ה. אז למשל אויב איך האב א נאמבער34.334567 שרייב איך34.34...!

דו מיינסט מסתם צו זאגן 34.33. דאס איז ווייל ווען מען טוהט ראַוּנדן צו א געוויסע דעצימעל פלאץ איז קוק איך צום רעכטן פלאץ פון די דידזשיט וואס איך וויל בלייבן מיט. אויב איז עס ביז 5 (ולא עד בכלל) לאז איך דעם דידזשיט וואס איך האב כמו שהיא. אויב אבער איז עס פון 5 און ארויף, האב איך דאך שוין ״רוב״ צו צוקומען צום נעקסטן דידזשיט וואס איך וויל בלייבן מיט, וממילא ריק איך עס ארויף איינס.

אין די פאל איז עס 34.334. איך זיך דא צו ראַוּנדן און בלייבן נאר מיט ביז צום הונדערטלעך פלאץ; די צווייטע דידזשיט צום רעכטס פונעם דעצימעל פונקט. קוק איך אויף דעם טויזענטסלעך פלאץ, איינס צום רעכטס פונעם הונדערטלעך פלאץ, און דאס איז דאך 4. אין אנדערע ווערטער, נישט רוב פונעם הונדערטלעך פלאץ. דעריבער בלייב איך מיט 34.33 אזוי ווי עס איז.

איך האב אזא מנהג אז ווען איך פאנג עפעס אן ליינען הייב איך אן פון די גרינגסטע זאך (יא, איך בין פון די וועלכע פאנגען אן די מעלות פון די בעק...), אזוי האב איך די ערשטע געליינט דעם צייטונג'ס אויסשניט ואשפג"תי מאוד מאוד אזש איך בין שיעור נישט אראפגעפאלן פון בענקל שרייבענדיג די שורות איז מיין לאכן אטאקע נאכנישט געקומען צו אן ענדע.

מי אני האט געשריבן:

berlbalaguleh האט געשריבן:נאר אין פראקטישן זין וועט קיינער נישט ארומגיין אויסרעכענען אפילו די10,000'סטע חלק פון א נאמבער. ווייל ס'איז דא אן עצה.מ'מאכט עס רונדעכיג ביז דעם נעקסטן נאמבער. ד.ה. אז למשל אויב איך האב א נאמבער34.334567 שרייב איך34.34...!

דו מיינסט מסתם צו זאגן 34.33. דאס איז ווייל ווען מען טוהט ראַוּנדן צו א געוויסע דעצימעל פלאץ איז קוק איך צום רעכטן פלאץ פון די דידזשיט וואס איך וויל בלייבן מיט. אויב איז עס ביז 5 (ולא עד בכלל) לאז איך דעם דידזשיט וואס איך האב כמו שהיא. אויב אבער איז עס פון 5 און ארויף, האב איך דאך שוין ״רוב״ צו צוקומען צום נעקסטן דידזשיט וואס איך וויל בלייבן מיט, וממילא ריק איך עס ארויף איינס.

אין די פאל איז עס 34.334. איך זיך דא צו ראַוּנדן און בלייבן נאר מיט ביז צום הונדערטלעך פלאץ; די צווייטע דידזשיט צום רעכטס פונעם דעצימעל פונקט. קוק איך אויף דעם טויזענטסלעך פלאץ, איינס צום רעכטס פונעם הונדערטלעך פלאץ, און דאס איז דאך 4. אין אנדערע ווערטער, נישט רוב פונעם הונדערטלעך פלאץ. דעריבער בלייב איך מיט 34.33 אזוי ווי עס איז.

מי אני: איך האב (נאכנישט) אדורך געליינט דיין גאנצע דיסערטאציע. נאר איין זאך איז זיכער אז איך לייג נישט 2 מאל א דעסימל אין די זעלבע עקוועיזשן. למשל. איך האב געשריבן 34.33. ווען איך ווילל דאס שרייבן אין פראקשנס וואלט איך געשריבן 3433. דאס ביסטו גערעכט אז מ'ראונדט נאר א נאמבער וואס איז העכער ווי 5. איך האב שוין געטרייט אויסצורעכענען ..."פיי"...ס'גייט נישט. א פראקטישער מענטש וועטציך אין מערסטע פעלער נישט נאריש מאכן מיט אויסרעכענען א הונדערט טויזנטס'טל פון א נאמבער...!

וואס איז מער בכמות 250 פארטס פער מיליאן. אדער 200 פארטס פער ביליאן?

וואס איז א שטרענגערער סטענדערד. 175 פארטס פער מיליאן. אדער 300 פארטס פער ביליאן?

which is more (in quantity) 250 ppm. or 200 ppb?

Which is a stricter standard 175 ppm or 300 ppb?

די 250 פּאַרטס פּער מיליאן איז מער בכמות. דאס איז ווייל פּראפּארציאנאל איז דאס מער, ווי נאר בערך דאפלט מער ביי פּאַרטס פּער בּיליאן [די דינאמינעיטאר] וואס דארף צו זיין גרעסער מיט פיר ארדערס פון מעגניטוד [ביי 10; 1000 מאל מער].

ועפי״ז איז אויך די 300 פּאַרטס פּער בּיליאן א שטרענגער סטאנדארד, וויבאלד דאס איז ווייניגער בכמות וכנ״ל וממילא פארלאנגט עס אז עס זאל זיין נאך ווייניגער ווי דעם וכו׳.

***

אינעם שמועס פון די חילוק אין נומערן צווישן איין סקווער און א צווייטע איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען אז דאס ווערט בעצם אנגערופן א קאַנגרוּאָם. פון פערמאט׳ס רייט טרייענגעל טעארעם, באשריבן אביסל דא, קומט אויס אז אויב איז דא א סיריִס/פּעטערן פון (דריי אדער מער) סקווער נומערן וואס די חילוק צווישן זיי איז די זעלבע [אן אריטמעטיק סיִקווענס], קען די חילוק נישט זיין א סקווער נומער אליין.

אגב, יעדע קאַנגרוּאָם איז אויך א קאַנגרוּענט נומער (באשריבן דארט וואו איך האב אויבן צוגעליִנקט). הגם אבער אז אויב האט מען א קאַנגרוּענט נומער איז עס ל״ד א קאַנגרוּאָם, אבער עס איז זיכער א נומער וואס קומט ארויס פון מאָלטיפּלייען א קאַנגרוּאָם ביי די סקווער פון עפעס א רעשׁאָנעל נומער.

***

אן אינטרעסאנטע זאך בנוגע סקווער נומערן איז אז אויב רעכען איך צאם אין רייע א געוויסע צאל אַדד נומערן, וועט עס אלעמאל זיין די זעלבע ווען איך סקווער יענע צאל נומער. למשל, אז איך רעכען צאם די ערשטע אין א רייע 8 אַדד נומערן, 1+3+5+7+9+11+13+15 קומט דאס אויס צו 64. דאס איז די זעלבע ווי 8².