בואו חשבון

אין דעם אשכול וויל איך אנהייבן באשרייבן יסודות פון מאטעמאטיק מיט'ן ציל צו נענטער מאכן די פרעמדע מושגים ולקרבם אל השכל. ווער עס האט אן אינטערעסע דערין איז געלאדנט צו קומען אויף א רואיגער שפאציר אין דעם גן המתמתיקה. בואו ונחשוב חשבונו של עולם!

מאטעמאטיק איז די שפראך פון דער אוניווערס – אזוי איז ידוע מפי ספרים וסופרים, פון אוקלידוס ביז ניל דייגרעס טיסאן. די סיבה דערצו איז וויבאלד מאטעמאטיק איז די מערסטע יסודות'דיגע חכמה וואס איז פארהאן. ווי נאר דער מענטש וויל זיך ארויסזען פון זיינע קאנקרעטע גרעניצן און אריינשפאצירן אין אינטעלעקטועלע מוח סוגיות איז מאטעמאטיק דער יסוד אויף וואס ער דארף אראפשטעלן זיין בנין.
מהאי טעמא איז מאטעמאטיק די ריינסטע חכמה. דהיינו, עס זענען פארהאן דארטן די ווייניגסטע פלוגתות (אויב בכלל). א סטעיטמענט איז אדער אמת אדער שקר אין מאטעמאטיק, עס איז נישט פארהאן קיין אינצווישן. עס לאזט זיך דעריבער דעבאטירן אויב מאטעמאטיק איז בכלל א חכמה. צו זאגן אז צוויי מיט צוויי איז פיר איז לכאורה אזוי פשוט אז עס איז בכלל נישט קיין חכמה, עס איז ענדערש דער וועג ווי אזוי מיר פראצעסירן אונזער רעאליטעט.
דער רעאליטעט איז אבער אז מאטעמאטיק איז שוין איינמאל א חכמה, כאטש רוב מענטשן זעען נישט קיין גרויסע הנאה דערפון. אבער דאס איז נאר וויבאלד זיי פארשטייען נישט דער באדייט פון מאטעמאטיק. דהיינו, זיי פארשטייען נישט דעם קאנצעפט אז מאטעמאטיק איז אן אבסטראקטע, און גאר בליציגע חכמה.
אלזא, לאמיר צוטרעטן צו די נקודה און פארשטיין וואס איז מאטעמאטיק. לאמיר אנהייבן מיט די ציגל: די נומערן.
ווען איך זאג אז איך האב צוויי פאפירן, פארשטייט יעדער אז איך פארמאג צוויי שטיק פון דעם מאטריאל פאפיר. דהיינו, דער נומער צוויי ווערט אין דעם טאג טעגליכן באנוץ באלד עסאוסיעיטעד מיט דעם בילד פון צוויי זאכן. אבער אין מאטעמאטיק איז דאס נישט אזוי. דער נומער צוויי איז דער "קאנצעפט" צוויי. דאס איז אזא באשעפעניש וואס מיר בויען אויף אין קאפ און מיר באטיטלען עס מיט'ן נאמען "צוויי", וואס מיר קענען טראכטן דערוועגן אלס א בלויזע קאנצעפט, עס דארף נישט רעפרעזענטירן קיין גשמיות'דיגע אביעקטן.
למאי נפקא מינא?
קודם למקח וממכר. אויב איך שרייב אונטער איך גיי דיר פארקויפן פינף הייזער קען איך זאגן אז איך האב געמיינט צו זאגן איך פארקויף דעם קאנצעפט פינף צוזאמען מיט צוויי הייזער.
אבער מיר זענען דאך נישטא פאר ביזנעס, מיר זענען דא צו לערנען. אלזא, די נפקא מינא וועט כאפן אז מיט צוויי פיזישע פאפירן קען מען נישט מאכן קיין חשבונות, מה שאין כן מיט דעם קאנצעפט צוויי קען מען יא. ווען איך האב צוויי פאפירן, פון וואנעט ווייס איך אז אויב איך שטעל צו נאך צוויי פאפירן וועל איך האב פיר? גוט, כ'קען עס אויספרובירן און זען וויפיל עס וועט זיין. אבער איך וויל דאך קענען זיין א חכם הרואה את הנולד, און זאגן פאר א מענטש וואס האט נאך קיינמאל נישט געזען א פאפיר אז טאמער ער וועט האבן צוויי דערפון און צושטעלן נאך צוויי וועט ער האבן פיר?
אויף דעם קומט דא צונוץ דער קאנצעפט פיר. דער מענטשליכער מוח פארשטייט אז צוויי מיט צוויי מוזן בעל כרחך זיין פיר, ווייל דער דעפינישאן פון דעם קאנצעפט צוויי זאגט אז טאמער מען וועט האבן צוויי אזעלכע קאנצעפטן וועט מוזן ווערן פיר. יעצט ווען וועט עס טאקע אויספרובירן למעשה און מען וועט זען אז דאס ארבעט, איז דאס א שטארקע ראיה אז אונזער מוח ארבעט טאקע ריכטיג, און ס'איז נישט סתם עפעס א דמיון, נאר אונזער מוח האט די מעגליכקייט צו דערגיין ממש די סודות הבריאה, וואס האט אין זיך איינגעקריצט א חוק ולא יעבור אז צוויי מיט צוויי וועט אייביג זיין פיר.
אין אנדערע ווערטער, די סיבה פארוואס דער מאטעמאטישער חשבון פון 2+2=4 איז אמת איז נישט וויבאלד יעדער זעט אז צוויי זאכן מיט צוויי זאכן זענען פיר זאכן, נאר פארקערט: דער מציאות אז צוויי מיט צוויי איז פיר איז וויבאלד עס איז דא א מאטעמאטישער געזעץ אז 2+2=4. דער ערשטער חלק קען א בהמה אויך וויסן. שטעל אראפ צוויי מיט צוויי און דער בהמה וועט זען פיר. דער צווייטער חלק איז א מתנה וואס בלויז דער מענטש איז באשאנקען געווארן, דהיינו נעמען דעם מציאות און עס אויסשטעלן לויט מעטאפיזישע כללים וואס זענען אמתיים מפני שהם אמתיים.
(איך גיי נישט יעצט דא אריין אין דער פילאזאפישער נושא אויב נומערן עקזיסטירן באמת וכו', איך רעד נאר לגבי דער מאטעמאטישער שפראך, ווייל דאס איז כו"ע מודה אז בשעת מען מאכט מאטעמאטישע חשבונות באנוצט מען זיך מיט נומערס אלס מושגים בפנ"ע כאילו זיי עקזיסטירן באמת).
איינמאל מען פארשטייט דעם דערהער באקומט גאנץ מאטעמאטיקס א נייער פנים. צום ביישפיל, דער נומער זערא איז ביי רוב מענטשן רעגיסטרירט אלס א ליידיגע זאך. 0 = גארנישט. אפשר אין די גשמיות'דיגע וועלט איז דאס אמת, אבער אין די מאטעמאטישע וועלט איז זערא לכאורה דער וויכטיגסטער נומער, ווי מיר וועלן שפעטער זען.
אזוי אויך אין די גשמיות'דיגע וועלט איז נישט פארהאן אזא זאך ווי א נעגאטיווע נומער (קיינער האט נאך נישט געזען פאפירן אין דער צאל פון נעגאטיוו פינף). אבער אין מאטעמאטיק האט א נעגאטיווע נומער פונקט אזא תוקף ווי א פאזיטיווע נומער. ווער רעדט נאך ווען עס קומט צו דער וואונדערליכער "מספר מדומה", וואס קען אודאי נישט ווערן "געזען" אין די פיזישע וועלט, כאטש עס זענען פארהאן פיזישע מציאות'ן וואס קענען נאר גערעכנט ווערן לויט אזא סארט נומער. אבער לאמיר נישט כאפן הייסע לאקשן.
אין די קומענדיגע תגובה וועלן מיר זיך האפנטליך באקענען אביסל נענטער מיט די נומערן אין דער מאטעמאטישער זין, אויב מיין צייט און געדולד וועט נישט אויסלויפן אינצווישן.

ענדליך רעדט איינער מאמע לשון.

איין זאך וויל איך פארשטיין: דאס אז 2+2=4 זאגסטו אויך איז א פשוט'ע זאך וואס מ'זעט פיזיש און ס'איז א פארשטענדליכער אויפגעוויזענער מציאות. איך האב אייביג פארשטאנען אז ווען מ'רעדט וועגן די שווערע מאטאמאטישע עקזעמפעלס, למשל די גמרא אין סוכה (נישט אז ס'איז אזוי שווער, כ'כאפ נאר אן א דוגמא) זענען די תירוצים און נומערן א זאך וואס מ'קען זען און פארשטיין פיזיש און כ'פלעג מיך אלס מוטשענען צו פרובירן מצמצים זיין די מח פרובירענדיג אויסרעכענען אין קאפ צי ס'שטימט טאקע במציאות. וואס דו זאגסט אבער איז אז איינמאל מ'פארשטייט וויאזוי נומערן ארבעט קען מען אננעמען מיט אן אמונה פשוטה אז די כללים פון מאטאמאטיק זאגט נישט קיין שקר, און אפילו אויב די אלע עגולים און שווערע עקזעמפעלס זענען שווער צו פארשטיין פיזיש — איז עס פארט אמת און גערעכט.

אמן.
ידיד נפש כו'.
(וואס איז געבליבן שכר מצוה בהאי עלמא איכא אדער ליכא? )

בבקשה פון אלע מגיבים דא (אריינגערעכנט די גרויסע שטערנס) נישט אריינצושטעלן דא תגובות וואס ענטהאלטן דברים של מה בכך און העלפן נישט ארויס דער ציל פון דעם אשכול. תודה.

אפטעמיסט האט געשריבן:ענדליך רעדט איינער מאמע לשון.

איין זאך וויל איך פארשטיין: דאס אז 2+2=4 זאגסטו אויך איז א פשוט'ע זאך וואס מ'זעט פיזיש און ס'איז א פארשטענדליכער אויפגעוויזענער מציאות. איך האב אייביג פארשטאנען אז ווען מ'רעדט וועגן די שווערע מאטאמאטישע עקזעמפעלס, למשל די גמרא אין סוכה (נישט אז ס'איז אזוי שווער, כ'כאפ נאר אן א דוגמא) זענען די תירוצים און נומערן א זאך וואס מ'קען זען און פארשטיין פיזיש און כ'פלעג מיך אלס מוטשענען צו פרובירן מצמצים זיין די מח פרובירענדיג אויסרעכענען אין קאפ צי ס'שטימט טאקע במציאות. וואס דו זאגסט אבער איז אז איינמאל מ'פארשטייט וויאזוי נומערן ארבעט קען מען אננעמען מיט אן אמונה פשוטה אז די כללים פון מאטאמאטיק זאגט נישט קיין שקר, און אפילו אויב די אלע עגולים און שווערע עקזעמפעלס זענען שווער צו פארשטיין פיזיש — איז עס פארט אמת און גערעכט.

ריכטיג. דער קונץ פון מאטעמאטיק איז אוועקצושטעלן כללים (געבויט אויף ריינע לאגיק) וואס לויט זיי וועט מען קענען אויסרעכענען די שווערסטע חשבונות און מ'וועט נישט דארפן טשעקן פיזיש אויב ס'שטימט.
אודה ולא אבוש אז צומאל ווען איך לעז (המכונה סאלוון) א פארפלאנטערטע עקוועישאן כאפט זיך אריין א הרהור כפירה אין מיר, ווער זאגט אז די כללים וואס איך האב אוועקגעשטעלט אין אנהויב עקספייערן נישט ערגעץ וואו אין די הויכע ציפערן.
למעשה זעט מען אבער אז סייענטיסטן רעכענען נאטורליכע פענאמענע אין די וועלט אין די גרעסטע ציפערן, און פונדעסטוועגן שטימט עס שטענדיג אויפ'ן האר. ממילא אויב ס'איז דא איין זיכערע זאך אין די אוניווערס איז עס בלי ספק מאטעמאטיק.

אויפגעוועקט

איז נישט מאטעמאטיק א בריאה ווי יעדער בריאה?

גרויסע מחלקות הפסוקים, יאיר בארירט דאס אינעם אשכול.

יעדער סברא איז א בריאה. דאס אז מען פארשטייט אז איינס מיט איינס איז צוויי איז זיכער א מוגבל'דיגע בריאה.

קוק דורך דעם אשכול וואס יאיר האט געלינקט.

לאמיר אנהייבן זען וואס דאס איז א נומער אין מאטעמאטיק. די ערשטע זאך דארף מען זיך פארשטעלן א "נומער ליניע", וואס אויף דעם וועלן זיין אויפגעשריבן אלע נומערן פון אויס ביז אויס. דער נומער ליניע איז איינגעטיילט אין צוויי חלקים. עס הייבט זיך אן אינמיטן ביים נומער זערא. ומשם יפרד והיה לשתי ראשים: אויף די רעכטע זייט געפינען זיך די פאזיטיווע נומערן, אויף די לינקע זייט די נעגאטיווע נומערן.


כדי עס זאל זיין גרינגער קענט איר זיך פארשטעלן אנשטאט א ליניע פון רעכטס אויף לינקס, זאל זיין א געביידע פון אויבן אויף אראפ. דער נומער זערא איז דער גראונד וואו איר קומט אריין אין דעם בנין המתמתיקה. אויב ווילט איר אנקומען צו נומער פינף דארפט איר ארויפפארן פינף שטאק מיט'ן עלעוועיטאר, אויב ווילט איר אנקומען צו 5- דארפט איר אראפפארן פינף שטאק.
ווי הויך איז דער בילדונג? כד הוינא טליא האב איך געהערט מבית אבותי ורבותי אז דער העכסטער נומער איז גוגל. ומימי היה קשה לי, וואס איז מיט גוגל און איינס, איז עס נישט א העכערער נומער ווי גוגל? בין איך אויפגעוואקסן בין איך געוואויר געווארן אז גוגל איז טאקע גאר ספעציעל, כמעט וואס עס גרייכט צום אין סוף ב"ה, אבער עס איז פארט נישט די העכסטע נומער.
אלזא דער בנין איז וראשו מגיע השמימה, עס פארט העכער און העכער און עס פארט נאכאלס בשעת איך שרייב די שורות. וויבאלד עס איז נישטא קיין נומער וואו עס שטעלט זיך אפ, נמנו וגמרו אז מען גייט באצייכענען דעם דאך פון דעם בילדונג אלס אין סוף, וואס איז אין מאטעמאטיק דער סימבאל ∞ . אזוי אויך מיט דעם עלעוועיטאר אויף אראפ קען מען פארן ביז אונטן עד אין סוף ועד אין קצבה, ביז די אונטערשטע טשערעפאכע. דער סאמע סוף פון די אונטערשטע שטאקן ווערט באצייכנט אלס ∞- .
יעצט לאמיר זען: אויב איר באגעגנט דעם חשבון 2+2, וואס באדייט דאס אין מאטעמאטיק? באלד ווען איר באטראכט דעם חשבון שטייט איר מיט צוויי פיס אויף דער ערד, לאמיר עס רופן גראונד זערא. איר באקומט א באפעל "2". אויב עס פארמאגט נישט א - סימבאל אויף די לינקע זייט איז פשט אז דאס איז א פאזיטיווע נומער. דאס באדייט אז איר דארפט אריינשפרינגען אין דעם עלעוועיטאר און ארויפפארן צוויי שטאק. איר קומט אן אויבן און איר באקומט א פרישע אינסטרוקציע: +. דאס מיינט אז איר זענט נאכנישט אנגעקומען צו אייער דעסטינאציע, איר דארפט נאך פארן נאך עטליכע שטאק. אבער וויפיל שטאק? ארויף אדער אראפ? אויף דעם באקומט איר די דריטע אינסטרוקציע: 2. און איר פארט ארויף מיט חשק נאך צוויי שטאק. איר דערזעט זיך אויפ'ן פערטן שטאק. מאכט איר דעם חשבון: ארויפפארן צוויי שטאק און נאכדעם פארן נאך צוויי שטאק איז די זעלבע ווי פארן אויף איינמאל פיר שטאק. גיבט איר א שרייב צו: 4 = . וואס דאס באדייט: זאויב מען רוקט זיך אויף דעם פאזיטיוון זייט צוויי שטאק, איינמאל און נאכאמאל, דאן קומט מען אן אויף דעם זעלבן ארט ווי ווען מען רוקט זיך איינמאל פיר שטאק אויף ארויף. דער סארט פעולה וואס איר האט איצט געטון ווערט אנגערופן addition.
אויב איר באקומט דעם חשבון 2-3 וואס טוט איר? קודם פארט איר ארויף צוויי שטאק. יעצט קוקט איר ווייטער און איר באקומען דעם מעסעזש 3-. אלזא זייט מוחל און רוקט זיך אראפ דריי שטאק. איר קומט צו איין שטאק אונטער דער ערד, וואס איז אודאי 1-. דער פעולה, דאס פארן קודם ארויף און נאכדעם אראפ, ווערט אנגערופן subtraction. באמת איז דאס די זעלבע געדאנק ווי addition, דהיינו, אין ביידע פעלער פארט מען צוויי (אדער מער מאל), דער חילוק איז נאר, אין דעם ערשטן פאל פארט מען צוויי מאל אויף ארויף, בעת אין דעם צווייטן פאל פארט מען קודם אויף ארויף און נאכדעם אויף אראפ. אויף דעם טעכנישן שפראך מיינט דאס אז יעדן מאל מען subtract א נומער איז דאס פונקט ווי מען לייגט צו א נעגאטיווע נומער. אכט מיינוס פיר באשטייט פון צוזאמרעכענען צוויי נומערן: דער פאזיטיווער נומער אכט און דער נעגאטיווער נומער פיר.
וואס טוט זיך אויב איר באקומט דעם חשבון: 2-2? אין אזא פאל פארט איר קודם ארויף צוויי שטאק, דערנאך פארט איר אראפ צוויי שטאק. איר קומט אן צוריק צו גראונד זערא. און איר באצייכנט דאס אלס 0 =. דהיינו, דאס פארן ארויף און אראפ די זעלבע צאל שטאקן, איז די זעלבע ווי ווען מען רירט זיך בכלל נישט פון ארט.
אין אזא פאל באקומען די צוויי נומערן א לומדי'שן טערמין: 2 און 2- זענען opposites. דעם זעלבן טיטל באקומען די נומערן 3 און 3-, 4 און 4-, און אזוי ווייטער. דער כלל גדול איז אז יעדע צוויי נומערן וואס אויב מען רעכנט ביידע צוזאמען באקומט מען א זערא, זענען זיי opposites. איר קענט זיך דאס אויך גרינג מצייר זיין דורכ'ן באטראכטן דעם נומער ליניע, וועט איר זען אז אלע opposite נומערן זענען די זעלבע מרחק איינער פון דעם צווייטן.
יעצט לאמיר זען נאך א חשבון: 1 + 3. איר פארט ארויף דריי שטאק, דערנאך נאך א שטאק, און איר פארצייכנט אייער דעסטינאציע: 4. וואס טוט זיך אויב איר זענט אן אויבער חכם און איר ווילט קודם ארויפפארן 1 שטאק און ערשט נאכדעם 3 שטאק, דהיינו איר ווילט ענדערש מאכן דעם חשבון 3 + 1? וועט איר באקומען די זעלבע רעזולטאטן ווי דעם פאריגן חשבון? דער ענטפער איז אזוי לאנג ווי איר נוצט ביידע נומערן קענט איר עס ארומדרייען ווי אזוי איר ווילט, און איר וועט שטענדיג אנגעקומען צו דעם זעלבן דעסטינאציע. דער כלל איז גילטיג ביי addition.
ווי איז אבער ביי subtraction (אדער מיינוס, כרגיל בפי העם)? למשל, 1 - 3, האבן מיר דאך געשמועסט אז מען פארט קודם ארויף דריי שטאק דערנאך אראפ איין שטאק. וואס טוט זיך אויב איר ווילט טוישן, און פארן אויף אראפ דריי שטאק און אויף ארויף איין שטאק, דהיינו 3 - 1? נו, רעכנט אויס ביידע חשבונות און איר וועט זען אז איר קריגט גאנץ אנדערע רעזולטאטן. דעם ערשטן חשבון גיבט אייך צוויי, בעת דער צווייטער חשבון גיבט אייך 2-. אלזא, מען קען נישט ארומדרייען די נומערן ביי subtraction, נאר מען מוז פונקטליך פאלגן די אנווייזונגען אין א סדר, טאמער נישט וועט מען אנקומען צו די ראנג אפיס און דער בעל הבית וועט אייך ארויסווארפן.
אבער טאמער איר ווילט דוקא זיך עקשנ'ען און טון עפעס אנדערש ווי מען האט אייך געהייסן, איז פארהאן אן אויסוועג. איר קענט נעמען דעם גאנצן צווייטן חלק, דהיינו, נעמט דעם נומער 1 צוזאמען מיט דעם מיינוס סימבאל, וואס דאס באדייט אז עס איז א נעגאטיווע נומער, און שטעלט עס אין פארנט כזה: 3 + 1-. קודם פארט איר אראפ איין שטאק, דערנאך פארט איר ארויף דריי שטאק. וואו קומט איר אן? צוויי! גענוי ווי דעם אריגינעלן חשבון.
המשך יבוא, להיות לעזר למבקשים חשבונות רבים.

נאכאמאל ייש"כ דר. יאיר פאר'ן נעמען די מי אונז אויסצולערנען פלאס & מיינעס.

זיי מיר מוחל אויב כ'וועל פרעגן באבע קשיות אויפ'ן רייזע, ווייל לצערי ולחרפתי הרב בין איך נישט באהאווענט אפילו אין די יסודות און עיקרים פון מאטאמאטיק. איך טראכט אז דו קענסט מעגליך מאכן געלט פון די רעגירונג מיט'ן אריינגעבן אז דו לערענסט טייטל וואן מיט צוריקגעבליבענע סטודענטען אויף קאווע שטיבל.

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

אפטעמיסט האט געשריבן:הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

אסאך זאכן וואס זעען אויס זייער פשוט אין אנהויב ווערן שפעטער גענוצט אין שווערערע חשבונות. למשל ווי אזוי רעכנט מען אויס דעם חשבון: (1-(2-1)-1) - 1? איינער וואס ווייסט נישט וואס דאס מיינט א נעגאטיווע נומער און וואס איז די מאטעמאטישע דעפיניציע פון subtraction ווייסט אפילו נישט פון וועלכע זייט אנצוהייבן ליינען דעם חשבון. אבער אויב איך וועל גלייך גיין צו די עכטע חידושים וועל איך אויסזען ווי "פארוואס?"

איך בין טאקע צעמישט מיט דעם עקזעמפל. וואס זענען די ברעקעטס (סוגריים)?

איך וועל מערצעשעם צוקומען דערצו.

אפטעמיסט האט געשריבן:נאכאמאל ייש"כ דר. יאיר פאר'ן נעמען די מי אונז אויסצולערנען פלאס & מיינעס.

זיי מיר מוחל אויב כ'וועל פרעגן באבע קשיות אויפ'ן רייזע, ווייל לצערי ולחרפתי הרב בין איך נישט באהאווענט אפילו אין די יסודות און עיקרים פון מאטאמאטיק. איך טראכט אז דו קענסט מעגליך מאכן געלט פון די רעגירונג מיט'ן אריינגעבן אז דו לערענסט טייטל וואן מיט צוריקגעבליבענע סטודענטען אויף קאווע שטיבל.

הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

זייער גוט זאגסטו, מכח פשטותם כאפט מען עס נישט. עס איז דא דער טעכניק, דער פארמולא וויאזוי צו לעזן פראבלעמען און נאכדעם איז דא די פארשטאנד פארוואס דער טעכניק ארבעט, פון וויפיהל נאך וועגן קען מען אנקומען צום זעלבן ענטפער? וועלכע ארבעט די בעסטע פאר מיר? וויזשועלייזן די טעכניק, עס פרובירן אפלייען אין פראקטישען לעבן, אליינס אויפקומען מיט א היכי תמצא וואו דער חשבון קען זיין אקטועל אא"וו. רוב גייען אדורך מאטעמאטיקס אהן גרונטליך פארשטיין די קאנצעפטן און בלייבן בלויז מיט די יכולת צו קענען פארענטפערן פראגן ווען פארגעשטעלט אין די זעלבע נאטעישן אדער קאנטעקסט ווי זיי האבן געלערנט אין סקול.

נישט די זכרון אדער שנעלע תפיסה איז וואס מאכט א גוטע מאטעמאטישן. נאר די גרוטליכע אדורכנעמענדע הבנה פון די קאנצעפטן וואס גיבט דעם מענטש די מעגליכקייט צו פארענטפערן א מאטאמעטיקאל פראבלעם אין סיי וואספארא קאנטעקסט, משל, דאמענסטראציע פארגעשטעלט. לבי אומר לי אז ס'איז נישט א אייגנשאפט וואס מ'קען זיך לערנען אזוי לייכט. מ'דארף דערמיט געבוירן ווערן.

אבער נאכאלס איז דא אן ארט פאר יעדעם. איך האב אליינס וויטנעסד ווי שיין און בעיוטיפול חשבון איז. ווי ווייט איך האב געמיינט אז "דאס קען איך נישט" בין איך נאכאלס געוואויר געווארן אז פאר מיר איז אויך דא אן ארט. די מער פראקטיס און די קאפ עפנט זיך אויף ביסלעכווייז. ס'נישטא נאך אזא גוטן טעם ווי ענטפערן (מיט א פענע) א ליסטע פראגן אין חשבון און נאכדעם טשעקן זיך אין די קאלקוליעטער און זען אז דער מאשין האט אויך צוגעטראפן דעם ענטפער. דו ווייסט אז קיינער אין די וועלט קען זיך נישט קריגן מיט דיר. דו ענטפערסט אויף א בחינה אויף וועמען דו דארפסט נישט קיינעמ'ס הסכמה מער צו די ענטפער וואס דו גיבסט איז ריכטיג אדער נישט. ס'איז כתוב וחתום אזוי לאנג ווי אייביגקייט עקזעסטירט אז דער ענטפער איז אמת ויציב. נאך א שאלה און נאך א פראגע איז ווי א קאמף אין א ביטערע מלחמה אבער א מלחמה בלי שונאים, א קאמף אהנע בלוט אנטקעגן קיינעם. א מלחמה וואס ווילאנג דו האסט נישט אראפגעשריבן דעם ריכטיגן ענטפער איז קלאר ווי דער טאג אז דו ביסט נישט גערעכט. א מלחמה אין וואו זיגן מיינט אז דו מאכסט פולשטענדיג שלום מיט'ן שונא און ביידע מוזן זיך פאראייניגן אויף א לעזונג וואס מוז שטימען אויפ'ן האר די זעלבע. ווען טוהן מעטס איז די וויכטיגסטע ארייננעמען יעדע פיצינקע דעטאל אין קאפ און גיין מיט א אויסגערעכנטע מעטעדאלידזשי. אראפשרייבן דעם ענטפער סטעפ ביי סטעפ. און פונקט ווען די מיינסט אז דו האסט שוין זיכער דעם ענטפער, גיי נאכאמאל איבער אויף דעם צו פארזיכערן אז ס'איז טאקע אזוי. ביי מיר האב איך געזען אז טוהן מעטס העלפט זייער אין מסדר זיין דעם מוח צו קענען שטענדיג טראכטן אין א מסודר'דיגן ארדער. אפילו זייענדיג עוסק אין אנדערע ענינים וואס האבן לאו דוקא צוטוהן מיט נומערן.

איך קען גאנץ גיט בעיסוק מעטעמעטיקס אבער די משל פון שטאקען איז פאר מיר א גרויסע חידוש. ס'איז געוואלדיג. מ'דארף ארויסטראסקעננן די ruler און נאר נוצן די שטאקן.

עס קומט אן א איד מיט'ן נאמען געצל אין דעם מאטעמאטיקס וואלקנקראצער, און ער וויל אנקומען צו זיין דעסטינאציע וואס געפינט זיך אויפ'ן 87'סטן שטאק. דארט ווארט אויף אים אן אינטערוויוער פאר א פרישע מעגליכע זשאב. עס ווערט אים שלעכט פאר די אויגן, ער וועט דארפן ארויפפארן אזויפיל שטאקן?
ער באגעגנט דעם וועכטער און ער לייגט אים פאר זיין פראבלעם, נעמליך ער איז שוין צען מינוט שפעט און דא דארף ער ארויפקריכן אזויפיל שטאקן. נישט גע'דאגה'ט! זאגט אים דער וועכטער. מיר האבן דא אן עלעוועיטער ממש דערנעבן, אויף די לינקע זייט פון דעם געווענליכן עלעועיטאר, וועלכע פארט ארויף צען שטאק אויף אמאל און ווערט גערופן דער צענער עלעוועיטער, בעת די געווענליכע עלעוועיטער וואס שטעלט זיך אפ ביי יעדן שטאק ווערט אנגערופן דער איינסער עלעוועיטער, על שם דעם איינעם שטאק וואס עס פארט ביי יעדן סטאפ. יעדע צען שטאק ביי דעם צענער עלעוועיטער איז ווי איין שטאק ביי דעם איינסער.
אלזא, געצל פארט ארויף אכט שטאק אויף דעם צענער עלעוועיטער, דערנאך פארט ער נאך זיבן אין דעם איינסער עלעוועיטאר און ער קומט אן א צופרידענער כמעט באצייטנס.
אויפ'ן וועג אראפ באגעגנט ער אן אנדערער איד מיט'ן נאמען גרונם. גרונם דארף אנקומען צום 245'סטן שטאק. דא איז שוין געצל געווען א בקי, און ער באמערקט אז לינקס פון דעם צענער עלעוועיטער איז פארהאן א הונדערטער עלעוועיטער, וואס אין יעדע שטאק זענען דא צען מאל צען שטאק. זאגט ער פאר גרונם, פאר ארויף מיט'ן הונדערטער 2 שטאק, דערנאך פאר פיר שטאק מיט'ן צענער, און נאך פינף מיט'ן איינסער און דו קומסט אן צו דיין דעסטינאציע.

אט ממש דאס איז וואס שפילט זיך אפ ווען מיר שרייבן נומערן. אנשטאט מיר זאלן דארפן מייחד זיין א באזונדערער נאמען און בוכשטאב פאר'ן יעדן נומער, האבן חכמינו ז"ל מתקן געווען אז איינמאל מען קומט אן אויף דעם צענטן שטאק זאל מען מער נישט געבן קיין נייע נומערן, נאר מען זאל דאס רופן 10, דהיינו, איין צענער און זערא איינסערס. אויף די רעכטע זייט איז דער איינסער ארט און אויף די לינקע זייט איז דער צענער ארט. אכצן וועט זיין איין צענער און אכט איינסערס. אויף לינקס פון דעם צענער איז דער הונדערטער ארט, און אן 1 דארט באדייט איין מאל צען מאל צען, וואס איז הונדערט, און אזוי ווייטער.

לאמיר צוריקגיין צו געצל. צום מזל האט ער גוט אויסגענומען ביים אינטערוויו און ער האט געקריגן דעם זשאב. דער נייער באס האט אים געבעטן א טובה אז ער זאל אראפגיין אכצן שטאק צו שטאק נומער 69, דארטן זאל ער איבערגעבן עפעס א מעסעזש. געצל מאכט זיך א פשוט'ער חשבון. אכצן באדייט דאך אכצן איינסערס און איין צענער. קומט אויס אז איך האב זיכער איין צענער וואס איך דארף אראפגיין.
ווי אזוי קום אים אן צום צענער? איך בין דאך יעצט בין תנור לכיריים, אויף דעם זיבעטן שטאק. דער צענער סטאפט נישט דא. געצל מאכט א שנעלער חשבון, אויב איך בין אויפ'ן 87'סטן שטאק באדייט דאס אז איך בין זיבן איינסער שטאקן און אכט צענער שטאקן הויך. אין אנדערע ווערטער, איך בין זיבן שטאק אוועק פון דעם צענער עלעוועיטאר, דארף איך פארן זיבן שטאק מיט'ן איינסער עלעוועיטער אנצוקומען צום צענער. דארט וועל איך נעמען דעם צענער אראפ איין שטאק, קום איך אן צום 70'סטן שטאק. בין איך שוין אראפגעפארן זיבן מיט צען שטאק, וואס איז זיבעצן, דארף איך יעצט אראפפארן נאך איין שטאק מיט'ן איינסער עלעוועיטער צו גרייכן גאנצע אכצן שטאק אויף אראפ.
דאס זעט אפשר אויס ווי אביסל א קאמפליצירטע וועג צו רעכענען, אבער פאקטיש איז דאס גאר גרינג איינמאל מען געוואוינט זיך צו דערצו. יעדן מאל וואס מען דארף רעכענען א חשבון פון addition אדער subtraction איז מען זיך מסדר אין מוח וויפיל צענערס און איינסערס עס זענען דא און לויט דעם רעכנט מען דעם חשבון.
באמת וואלט דער ארכיטעקט נישט געמוזט בויען דעם בנין המתמתיקה אויף דעם אופן. ער וואלט געקענט למשל מאכן אז עס זאל זיין א צוועלפער עלעוועיטער אנשטאט א צענער, און איין שטאק אין דעם צוועלפער עלעוועיטער זאל זיין צוועלף שטאק אויפ'ן איינסער. דערנאך האט ער געקענט מאכן א צוועלף מאל צוועלף שטאק עלעוועיטער, וואו יעדער שטאק ענטהאלט צוועלף מאל צוועלף שטאק אנשטאט צען מאל צען. אבער ער האט גענוצט צען שטאק אקעגן די צען פינגער, און מיר וועלן נישט משנה זיין פון די מסורה.

לאמיר יעצט גיין צו די אנדערע צוויי פון די מערסט אפט גענוצטע אפעראציעס אין מאטעמאטיק – multiplication און division.
וואס מיינט multiplication? גאנץ פשוט. פונקט ווי דעם ארכיטעקט אין דעם וואלקנקראצער, בוי איך מיינע אייגענע עלעוועיטארס לויט מיין געברויך. למשל, 3*2 באדייט אז איך האב צוויי "דרייער" שטאקן. יעדער איינער פון די צוויי שטאקן האט אין זיך דריי שטאקן. צוזאמען איז דאס אודאי זעקס איינסערס. 6*5 מיינט אז איך האב פינף זעקסער שטאקן. איך פאר ארויף איין מאל א זעקסער שטאק, צוויי מאל, און אזוי ווייטער ביז פינף מאל, און דארט קום איך אן צו מיין דעסטינאציע.
פריער האבן מיר געשמועסט אז אין addition קען מען ארומטוישן דעם סדר פון די נומערן און דאס איז נישט משנה פון דעם חשבון. וואס טוט זיך מיט Multiplication, צו קען מען דא אויך ארומטוישן? דער ענטפער איז אז יא. וואס א חילוק אויב איך פארמאגט צוויי דרייער שטאקן אדער דריי צווייער שטאקן? אין ביידע פעלער וועט אייביג זיין דער זעלבער צאל שטאקן. ממילא אויב איר באגעגנט א חשבון ווי 7*3*2*7, ווערט נישט פארלוירן. נאר זייט דאס מסדר אזוי: 7*7*3*2. 3*2 ווייסט איר דאך איז זעקס, און 7*7 ווייסט איר אויך ווי א גוטער חדר יונגל איז 49. יעצט 6 מאל 49 שטאק איז כמעט ווי מען זאל בויען 6 מאל 50 שטאק, וואס איז אודאי 300. דער חילוק איז נאר אז אין אונזער חשבון פעלט איינס פון יעדן שטאק. אזוי ווי מיר האבן זעקס שטאק מיינט דאס אז אין יעדן שטאק פעלט איינעם כדי צוצוקומען צו די פולע דריי הונדערט שטאק, צוזאמען פעלן זעקס שטאק, דאס מיינט אז דער חשבון איז 300-6, וואס איז גרינג אויסצורעכענען.

וואס מיינט division? איך בוי נאכאמאל מיינע אייגענע עלעוועיטערס, אבער אנשטאט צו מאכן אן עלעוועיטער וואס יעדער שטאק באשטייט פון עטליכע שטאקן, טו איך פונקט דאס פארקערטע. איך נעם איינס, אדער עטליכע שטאקן, און איך צוטייל זיי אויף קלענערע שטאקן. למשל, ½ איז פשט אז איך נעם איין שטאק און איך פארוואנדל עס אין צוויי שטאקן. איך האב יעצט פרישע שטאקן, וואס איינס פון מיינע פרישע שטאקן איז בלויז האלב פון אן איינסער שטאק. אזוי אויך 3/5 איז פשט אז אין דריי שטאק האב איך אריינגעקוועטשט פונקטליך פינף שטאקן. דאס מיינט אז אין יעדן פון מיינע שטאקן איז פארהאן דריי פיפטלעך פון א געווענליכע שטאק.

וואס טוט זיך מיט 2/1? אין אזא פאל האב איך גענומען צוויי שטאק און עס פארוואנדלט אין איין שטאק. אויב האב איך איינע פון מיינע שטאקן דאן האב איך צוויי איינסער שטאקן. מהאי טעמא איז דער כלל אז אויב איך פאר ארויף 2 געווענליכע שטאקן איז דאס פונקט ווי איך פאר ארויף איין 2/1 שטאק. אויף דער מאטעמאטישער שפראך: דער דעפיניציע פון א נומער איז יענער נומער צוטיילט אין איינס.
אבער מיינט נישט אז division מוז אלעמאל פראדוצירן צעשניטענע איינסער שטאקן. דאס פאסירט נאר טאמער מען צעטיילט א קלענערער נומער אין א גרעסערער נומער. ווייל אויב איך צוטייל א קליינע צאל שטאקן אין א גרעסערע צאל שטאקן איז פשוט אז יעדע שטאק וועט זיין קלענער ווי איין שטאק אויף דעם איינסער עלעוועיטער. אויב אבער איך צוטייל א גרויסער נומער אין א קלענערער נומער, דאן ווערט יעדער שטאק גרעסער ווי איין שטאק אויף דער איינסער עלעוועיטער. למשל, אויב איך צוטייל 4/2, דאן באשטייט יעדער פון מיינע שטאקן פון צוויי שטאק.
יעצט, לאמיר זאגן אז איך מאך דיוויזיע, און איך צוטייל זעקס שטאק אין צוויי שטאק. יעדער שטאק באשטייט יעצט פון דריי שטאקן. היות איך האב דאך נאר איין שטאק פון 6/2, (אנשטאט צו האבן איין 6/1 שטאק) בין איך יעצט אראפגעפאלן דריי שטאק און איך בין אנגעקומען צום דריטן שטאק. דערנאך מאך איך מולטיפליקאציע, 2 מאל 6/2, און איך פאר ארויף צוויי פון מיינע דרייער שטאקן. וואו קום איך אן? אויפ'ן זעקסטן שטאק – דארט וואו איך האב אנגעהויבן.
דאס מיינט אז אויב איך נעם סיי וועלכער נומער (לאמיר עס רופן דעם ערשטן נומער), און איך צוטייל עס אין א צווייטער נומער (לאמיר עס רופן דעם צווייטן נומער), דערנאך וועל איך עס מולטיפלייען דעם רעזולטאט פון דעם חשבון ביי דעם צווייטן נומער, וועל איך צוריקבאקומען דעם ערשטן נומער. איר קענט דאס אויספרובירן מיט סיי וועלכע נומערן איר ווילט. למשל, צוטיילט צען ביי צוויי, און יעדער שטאק איז א פינפער. יעצט פארט ארויף צוויי פון די פינפער שטאקן, און איר קומט אן צוריק צו נומער צען.
אויף דער מאטעמאטישער שפראך מיינט דאס אז multiplication און division זענען inverse איינער פון דעם צווייטן, זיי טוען פארקערטע פעולות. אויב איך וועל נעמען סיי וועלכער צוויי נומערן און איך וועל זיי קודם דאפלען און נאכדעם צוטיילן וועל איך אלץ צוריקבאקומען דעם נומער מיט וועלכע איך האב אנגעהויבן. בדוק ומנוסה. אזוי אויך זענען addition און subtraction די Inverse איינער פונעם צווייטן. אויב מען וועט נעמען סיי וועלכער נומער, מען וועט צולייגן א צווייטער נומער און דערנאך אראפנעמען דעם זעלבן נומער (מען וועט צולייגן דער opposite) וועט מען אלס איבערבלייבן מיט דעם ערשטן נומער.

זה כלל גדול במתמתיקה: כל באיה ישובון. יעדע פעולה וואס מען טוט מיט א נומער און מען קריגט אן אנדער נומער אלס רעזולטאט, איז אלס דא אן אנדער פעולה וואס מען קען טון מיט דעם רעזולטאט אזוי אז מען זאל צוריק באקומען דעם אלטן נומער. עס איז אייביג דא א וועג אויף צוריק, עס איז קיינמאל נישט צו שפעט. אין דעם איז אריינגערעכנט אויב מען האט נישט געלערנט מאטעמאטיק אין די יונגע יארן.

זייער שיין יאיר, איך האב גרויס הנאה געהאט. איך האב נישט וואס צוצולייגן אבער איך מוז מגיב זיין ווייל אויב נישט וועסטו מיינען אז מען הערט דיך נישט אויס.

יאיר האט געשריבן:אויב מיין צייט און געדולד וועט נישט אויסלויפן אינצווישן.

נאר נישט דאס. עטליכע האבן שוין אנגעהויבן און זענען געבליבן שטעקן אינדערמיט, איך האף אז דו וועסט גיין עד הסוף.

זייער שיין. באמת א שיינע ארבעט. ענדליך נעמט זיך איינער צו די מלאכה לקרבה אל הלב.
איך האב אסאך וואס צו שרייבן, ובזה החלי:

יאיר האט געשריבן:

אפטעמיסט האט געשריבן:הגם, טו בי האנעסט, כאפ איך נישט די גרויסע חידושים וואס דו האסט מיט אונז געלערענט היינט, טיטשער יאיר.

אסאך זאכן וואס זעען אויס זייער פשוט אין אנהויב ווערן שפעטער גענוצט אין שווערערע חשבונות. למשל ווי אזוי רעכנט מען אויס דעם חשבון: (1-(2-1)-1) - 1? איינער וואס ווייסט נישט וואס דאס מיינט א נעגאטיווע נומער און וואס איז די מאטעמאטישע דעפיניציע פון subtraction ווייסט אפילו נישט פון וועלכע זייט אנצוהייבן ליינען דעם חשבון. אבער אויב איך וועל גלייך גיין צו די עכטע חידושים וועל איך אויסזען ווי "פארוואס?"

קודם לאמיר הערן וויזוי זעהט אויס ״פארוואס?״?
און ביני ובינך, בין איך קרח מכאן ומכאן, ווייל כ׳האלט נאכנישט ביי די עכטע חידושים אויך נישט.

אזוי אויך אין די גשמיות'דיגע וועלט איז נישט פארהאן אזא זאך ווי א נעגאטיווע נומער (קיינער האט נאך נישט געזען פאפירן אין דער צאל פון נעגאטיוו פינף). אבער אין מאטעמאטיק האט א נעגאטיווע נומער פונקט אזא תוקף ווי א פאזיטיווע נומער.

איך ווייס נישט פארוואס דו זאגסט אז אין די גשמיות׳דיגע וועלט איז פארהאן א פאזיטיווע נומער מער ווי א נעגעטיווע נומער.
לדעתי, עקזיסטירן ביידע די זעלבע.
ווייל אזוי ווי דו האסט געשריבן, אז ווען מיר זעהן צוויי פאפירן זעהן מיר נישט דעם נומער.
בקיצור, א נומער איז א קאנסעפט. א פאזיטיווע פונקט ווי א נעגעטיווע.
איז נישט נאטורליך צו פארשטיין אז איינער האט מיינוס 1000 דאלער אין באנק?
איז נישט נאטורליך צו פארשטיין אז די ים המלח איז מיינוס 427 קילאמעטער אונטער די ים-לעוול?

איז עס ווייטער נישט גשמיות'דיג. דו קענסט נישט אנכאפן די מיינוס וואס ער איז אין דעביט. די מיינוס אין טעמפעארטור איז עפעס וואס מיר האבן אטריביוט צו קעלט אין רעלאטיווע צו היץ (אפשר ווייל היץ גייט ארויף און קעלט ערשט אראפ/אונטן) כדי אז מענטשן זאלן עס קענען איידענטעפייען און מעסטן ווען אין פאקט איז עס דער זעלבער נעגעטיווער נומער קאנצעפט וואס ווען מ'וויל עס ממשש זיין פיזיקלי לאזט זיך עס נישט. מ'וואלט פונקט אזוי געקענט זאגן, "ס'איז צוואנציג די גראד אין קעלט."

סורי, ביי דער ים המלח איז דאך עס אינגאנצן נישט דער קאנצעפט. זוי מיין איך.

איך זאג נישט אז א נעגעטיווע נומער איז ממשות׳דיג. איך זאג אז עס עקזיסטירט נאך אזוי פול ווי דער פאזיטיווער נומער.
אין אנדערע ווערטער: די פאזיטיווע נומער איז אויך נישט ממשות׳דיג, עס איז א קאנסעפט. אזוי ווי יאיר האט מסביר געווען, און אזוי ווי יידל האט געברענגט פונעם חזון-איש.

יאיר האט געשריבן:אודה ולא אבוש אז צומאל ווען איך לעז (המכונה סאלוון) א פארפלאנטערטע עקוועישאן כאפט זיך אריין א הרהור כפירה אין מיר, ווער זאגט אז די כללים וואס איך האב אוועקגעשטעלט אין אנהויב עקספייערן נישט ערגעץ וואו אין די הויכע ציפערן.

איך פאנג שוין אן צו טראכטן אז די באשולדיגונגען פון איי-וועלט אויף קאווע שטיבל איז גערעכט.
אין אן ערנסטע מינע, מיין איך אז די כפירה איז א רוח-שטות פונעם יצה״ר, ווייל נאך וואס מיר האבן מאטעמאטיקל אינדאקשן, דארפן מיר נישט האבן אזעלכע דאגות.

@פארוואס?, איך וועל נישט יעצט אריינקריכן אין פילאזאפישע ארגומענטן. באלד וועסטו נאך זאגן אז איך מאך אן אין מאין. אבער בקיצור נמרץ מיין איך טאקע דאס וואס דו זאגסט, אז אין מאטעמאטיקס איז יעדער נומער א קאנצעפט, נישט קיין חילוק צו א פאזיטיווע צו א נעגאטיווע צו אן אימעזשענערי צו אן אומראציאנעלע.

פארוואס? האט געשריבן:זייער שיין. באמת א שיינע ארבעט. ענדליך נעמט זיך איינער צו די מלאכה לקרבה אל הלב.
איך האב אסאך וואס צו שרייבן, ובזה החלי:

יאיר האט געשריבן: קודם לאמיר הערן וויזוי זעהט אויס ״פארוואס?״?
און ביני ובינך, בין איך קרח מכאן ומכאן, ווייל כ׳האלט נאכנישט ביי די עכטע חידושים אויך נישט.

אויף יעדע זאך וואס פארוואס? ליינט האט ער אזויפיל פראגע צייכנס אין קאפ. דאס איז ווייל דו מישט אויף אינמיטן פון דעם בוך, הייב אן פון אנהויב וועט אלעס זיין קלאר.
ערנסט גערעדט, מאטעמאטיקס מוז געבויט ווערן אין א פונקטליכע סדר. אויב עס פעלט נאר אפילו א קלייניקייט אין דעם יסוד, אפילו די פשוט'סטע זאכן וואס מען וואלט ווען געדארפט קענען אבער למעשה האט מען עס קיינמאל נישט קלאר געמאכט, לייגט דאס גרויסע שטיינער שפעטער אין וועג. דערפאר פעלט אויס צו אנפאנגען ממש ביים אנהויב.

יא יא.
כ׳האב מלכתחילה אזוי פארשטאנען. כ׳האב עס נישט ערנסט געמיינט.
איך האלט שוין פון לאנג אז עס פאדערט אזא הקדמה, און דו ביסט טאקע דער ריכטיגער שליח דאס צו דעליווערן.
איך האף נאר אז ווען מ׳הייבט אן פון אזוי פרי זאל מען אנקומען ערגעצוואו, איך גלייב שווער אז מיט די עלעוועיטער וועסטו אנקומען ביז קאלקולוס.
(און ביי דע וועי, יעצט פארשטיי איך שוין וועלכע עלעוועיטער מ׳האט גענוצט ביי הילבערט׳ס האטעל).

פארוואס? האט געשריבן:איך האף נאר אז ווען מ׳הייבט אן פון אזוי פרי זאל מען אנקומען ערגעצוואו, איך גלייב שווער אז מיט די עלעוועיטער וועסטו אנקומען ביז קאלקולוס.

בדידי הוה עובדא.
יעצט דארפסטו נאר נוצן mathematical induction צו פראוון אז יעדער קען אנקומען אהין מיט אונזער עלעוועיטאר.

מאטעמאטיקס איז א חכמה, אבער די סימבאלן וואס מיר נוצן עס צו אראפשרייבן איז א שפראך. אויב מען וויל קענען דעם שפראך פון מאטעמאטיקס דארף מען קענען די טערמינאלאגיע פון די סימבאלן, און אזוי אויך וויסן די גראמאטיק כללים פון דעם שפראך, אויב נישט קען מען עס נישט ליינען. אלזא, איידער מיר גייען ווייטער אין מאטעמאטיקס וויל איך ווידמען אפאר שורות צו באקענען דעם עולם מיט די טערמינאלאגיע פון פארשידענע סארטן נומערן אין מאטעמאטיק.
די נומערן זענען איינגעטיילט אין פארשידענע דרגות, פון אונטן ביז ארויף, ואלו הן:
counting numbers - דאס זענען אלע פאזיטיווע נומערן פון 1 ביז אין סוף.
whole numbers - אויך אלע פאזיטיווע נומערן, נאר דא הייבט מען אן פון זערא ביז אין סוף.
integers - אלע נומערן אויף די נומער ליניע, פאזיטיוו אדער נעגאטיוו, זערא אריינגערעכנט.
rational numbers - דאס רעכנט אריין אלע אויבדערמאנטע נומערן, פלוס אלע צעטיילטע נומערן המכונים fractions, ווי 1/2, 4/100, און אזוי ווייטער.
irrational numbers - אלע אויבדערמאנטע, פלוס אלע נומערן וואס מען קען נישט שרייבן נישט אין קיין Integer אדער rational number, ווי למשל דער נומער פאי, וואס מען קען נישט אראפשרייבן גענצליך אין געווענליכע נומערן, און מען האט מייחד געווען דערפאר דעם ספעציעלן סימבאל π.
די אלע נומערן גייען אריין אין דעם כלל פון real numbers. ווען איינער רעדט וועגן א ריעל נומער רעדט ער פון די אלע נומערן וואס איך האב יעצט דערמאנט. עס זענען אויך פארהאן imaginary נומערן, אבער דאס איז פאר א ווייטערדיגע לעוועל אין מאטעמאטיקס.

יעצט די גראמאטיק כללים. איך וועל אנהויבן מיט די order of operations.
וואס איז דער ענטפער צו דער פראגע: 5*1+2?
מען קען עס ליינען צוויי וועגן. אדער קודם 1+2, וואס איז 3, דערנאך 5*3, וואס איז פופצן. אדער קען מען קודם ליינען 5*2, וואס איז צען, דערנאך 10+1, וואס קומט אויס עלף. וועלכע איז דער ריכטיגער ענטפער? אויב מען וועט לאזן יעדן איינעם מאכן דעם חשבון ווי אזוי מען וויל, וועט דאך זיין א כאאטישער צושטאנד. דערפאר האבן די חכמים מתקן געווען א סדר וועלכע מען מאכט קודם און וועלכע נאכדעם, וסימנך PEMDAS, ווי דער מהרש"א ערקלערט איז דאס ר"ת: parentheses, exponential, multiplication, addition, subtraction. לאמיר מסביר זיין יעדע איינע:
parentheses - אלע נומערן וואס ליגן אין צוויי האלבע רינגלעך רעכנט מען צוזאם די ערשטע. למשל (2+1)*4, וועט מען קודם רעכענען 2+1, דערנאך דעם סך הכל * 4. כאטש געווענליך וואלט מען געטון פארקערט, ווי מיר וועלן שפעטער זען. אויב איז דא צוויי האלבע רינגלעך, איז דער כלל אז כל שבפנים קודם, למשל ((9+8)*4)*3, וועט מען קודם רעכנען די אינווייניגסטע 9+8, דערנאך דעם סך הכל *4, דערנאך דעם סך הכל פון די ביידע חשבונות *3.
exponential - דאס מיינט די פאוער נומערן, וואס קומט נאכדעם אויף די רייע. היות מיר האלטן נאך נישט דארט וועל איך עס אויסלאזן לעת עתה.
multiplication - די נעקסטע וועט מען רעכנען די מולטיפליקאציע סימבאל. אלזא 5*1+2 וועט מען קודם רעכענען 5*2 און נאכדעם +1.
addition, subtraction - די צוויי גייען אינאיינעם, און ביידע האבן די זעלבע דרגה. די סיבה איז לכאורה ווי געשמועסט פריער אז subtraction איז באמת אויך addition, ממילא איז נישט שייך צו מקדים זיין איינער פאר'ן צווייטן.
וואס טוט זיך אויב מיר באגענען זיך מיט ביידע, אדער מיט צוויי additions אדער subtractions? דאן איז דער כלל אז מען הייבט אן פון לינקס און מען גייט אין א רייע.
אלזא לאמיר עס מסכם זיין:
פערענטעסיס ושאינו פערענטעסיס, פערענטעסיס קודם.
עקספאנענטס ושאינו עקספאנענעטס' עקספאנענטס קודם. (מלבד מה שמובא בתוך הפערענטעסיס כנ"ל, עי' שאגת אריה סי' כ"ב).
מולטיפליקעישאן ועדישאן, מולטיפליקעישאן וסובטרעקשאן, מולטיפליקעישאן קודם.
עדישין ועדישאן, עדישאן וסאבטרעקשאן, סאבטרעקשאן וסאבטרעקשן, שמאל שמאל קודם.

הדרן עלך סימני סדר האפעראציעס
עדישאן בר מולטיפליקעישאן, סובטרעקשאן בר מולטיפליקעישאן, עקספאנענטס בר מולטיפליקעישאן וכו'

זייער שיין און קלאר. שכויח.
---
די real numbers פאדערט א קלארערע באהאדלונג, איך מיין דו קענסט דא נוצן ווידער די נומער ליניע.
איינער וואס איז ווילד-פרעמד צו מאטעמאטיק, ברויך נישט צו וויסן אז עס איז בכלל דא א נומער וואס קען נישט ווערן רעפרעזעטירט דורך א פרעקשן פון צוויי נומערן.
אפילו אזעלכע ווי פיטאגאראס (עכ"פ אזוי גייען די לעגענדעס) האבן דאס נישט געוואוסט. אלזא, דר. יאיר, צינדט צוריק אן דעם עלעוועיטער און ערקלער עס.
(לכאורה וועסטו דארפן אפשטעלן דעם עלעוועיטער אינמיטן א שטאק, (אבער איך לאז די עבודת הדמיון פאר דיר)).

נ. ב. די פרענטעסיס זענען גענוצט געווארן געזעצליך.

הערליך! פעלט נאך אויס נאכקוקן די שאגת אריה ס' כב?

איז דא א וועג וויאזוי מסביר צו זיין וואו און וואס עס כאפט א חילוק פון counting numbers, whole numbers, integers, rational numbers, irrational numbers וכו?

ס'איז גרינג צו ליינען די נעמען און זייערע דעפיניציעס, שוין איבערגעגאנגען פילע מאל אין די פארגאנגענהייט אבער ס'איז מיר גאר שווער צו געדענקן א ליסטע פון זאכן אן פארשטיין וואס מאכט זיי אנדערש איינס פונעם צווייטן,

ס'איז וואו לערנען מיט א בלינדן קאלירן און א טויבן נאטן, ער וועט אפשר געדענקען אז גרין איז א בארואיגנדע קאליר, וואס ענדלט צו געל און בלוי, אבער ער פארשטייט נישט וואס גרין איז וועט עס זיין שווער צו געדענקען, אבער אויב ער ווערט זעעדיג וועט ער פארשטיין די חילוק,

אין באטאניק איז דא פילע נעמען פאר די אויסשטעל פון בלעטער, סיי די אויסשטעל אויפן צווייגל, סיי די אויסשטעל פון בלעטער פארלעך, די בלאט עקן, די בלאט פארמען, אבער ביז מען 'זעט' די בלעטער איז זייער שווער צו פארשטיין וואס די אלע חילוקים זענען, צו זיין א גוטער באטאניקער דארף מען קודם גוט פארשטיין און געדענקען וואס זיי 'מיינען' און 'זען וואס די חילוקים זענען' נישט נאר די ווערטערליכע אפטייטש,

איז מעגליך פאר רבינו יאיר אונז צו 'דערלייכטן' די אויגן?

ישראל, שאלה גדולה שאלת. איך האב פונקט אנגעהויבן לעצטנס ליינען א וואונדערבארער נייער בוך Fluent Forever, וועלכע לערנט אויס ווי אזוי זיך אויסצולערנען א נייער שפראך. איז ער מסביר אז דער בעסטער וועג איז נישט צו זיצן און מעמארייזן הונדערטער ווערטער און גראמאטיק כללים, נאר תיכף פון אנהויב מאכן וואס מער לעבעדיג די ווערטער אין מוח, כדי עס זאל ווערן גענוג מיינונגפול פאר'ן מח עס זאל זיך לוינען צו געדענקען. דער מאטעמאטישער שפראך איז גארנישט אנדערש, און די גרינגסטע וועג זיך אויסצולערנען די טערמינאלאגיע איז along the way. אבער עפעס מוז מען דאך קענען, ממילא וועל איך פרובירן קלארער מאכן די פריערדיגע דעפיניציעס.
counting numbers - דער באדייט איז פשוט, אלע נומערן מיט וואס מען ציילט אביעקטן אין טאג טעגליכן לעבן.
whole numbers - די סיבה פארוואס מען דארף האבן א באזונדערע גרופע וואס רעכנט אויך אריין זערא, איז וויבאלד זערא פארמאגט געוויסע unique הלכות. למשל סיי וועלכער נומער * 0 וועט אייביג זיין זערא. אזוי אויך א נומער צוטיילט ביי זערא איז מיינונגסלאז אין מאטעמאטיק. ממילא ווען איך גיב דיר אן עקוועישאן וואס צוטיילט א נומער ביי x, דארפסטו קודם וויסן אויב דער x קען זיין זערא אדער נישט.
(זאת למודעי אז די צוויי קאטעגאריעס ווערן רוב מאל נישט אנגערופן ביים נאמען אין מאטעמאטיק, און די נעמען זענען נישט וויכטיג צו געדענקען).
integers - דער ווארט ווערט זייער אפט גענוצט אין מאטעמאטיק, און באדייט סיי וועלכער 'גאנצער' נומער. 9-, 0, 100, זענען אלע Integers. דא איז פשוט פארוואס איך דארף האבן א באזונדערע קאטעגריע וואס רעכנט אריין אויך די נעגאטיווע נומערן, וואס האבן באזונדערע הלכות ווי פאזיטיווע נומערן. רבינו דר. גוגל גיבט מיר איבער אז דער נאמען קומט פון לאטייניש, און באדייט גאנץ, אומבארירט. in - נישט, tangere - אנגערירט, (ווי דער ענגלישער tangent). יעצט וועט איר אויך פארשטיין פון וואו דער ווארט integrity (יושר) אדער Integral קומט.
rational number - דער נאמען ווערט אויך זייער אפט גענוצט. rational מיינט נישט דא שכל'דיג, ווי אין דעם געווענליכן ענגלישן ווארט, נאר מלשון ratio, אדער rate. ווען איך זאג פאר א מענטש אז מיין קאר פארט 30 מייל פער צוויי שעה, איז פשט אז אין יעדע צוויי שעה רוק איך אריין דרייסיג מייל, אדער מיט דעם פריערדיגן משל, אין יעדע צווייי שטאק פון מיין עלעוועיטאר געפינט זיך דרייסיג פשוט'ע שטאקן. דאס מיינט א ratio. און ווערט באצייכנט מיט צוטיילטע נומערן כזה: 30/2. דאס איז די זעלבע פעולה ווי division. דא איז אויך פשוט פארוואס מען דארף א באזונדערע קאטעגאריע פאר די צעטיילטע נומערן ווי פאר די גאנצע נומערן, ווייל זיי האבן ווייטער אנדערע כללים.
irrational number - דאס איז א נומער וואס קען נישט געשריבן ווערן באופן הנ"ל מיט א ratio, און אודאי נישט מיט אן integer, ווארום יעדער Integer איז א נומער צוטיילט ביי 1. אזוי לאנג ווי מען לערנט נישט טריגאנאמעטריע באגעגנט מען זיך נישט מיט irrational נומערן.
איך האף אז איך האב אביסל קלארער געמאכט דעם ענין.

טאמבל סאס האט געשריבן:הערליך! פעלט נאך אויס נאכקוקן די שאגת אריה ס' כב?

זיכער. אזוי וועסטו וויסן וואס פאסירט אויב מען שטעלט נישט אראפ הארטע אומבויגזאמע כללים באלד ביים אנהויב.

יאיר יקירי, כ'וויל חלילה נישט צומישן דעם עולם אבער כ'מוז פרעגן: איז די נאטורליכע באזע e נישט קיין אירעשאנעל נומער מיט וואס מ'שטויסט זיך אן בלי שייכות צו טריגאנאמעטריע?

יידל האט געשריבן:יאיר יקירי, כ'וויל חלילה נישט צומישן דעם עולם אבער כ'מוז פרעגן: איז די נאטורליכע באזע e נישט קיין אירעשאנעל נומער מיט וואס מ'שטויסט זיך אן בלי שייכות צו טריגאנאמעטריע?

יא. ס׳איז דא אן א שיעור אזעלכע נומערן, אין מ׳שטויסט זיך אן אין זיי שטענדיג. למשל, די square root פין אלע נומערן וואס זענען נישט א perfect square זענען אויך אירעשאנעל.

קול דודי האט געשריבן:ס׳איז דא אן א שיעור אזעלכע נומערן, אין מ׳שטויסט זיך אן אין זיי שטענדיג. למשל, די square root פין אלע נומערן וואס זענען נישט א perfect square זענען אויך אירעשאנעל.

נאכמער ווי סתם אן א שיעור, נאר עס זענען דא אסאך מער אירעישענעל נומערן ווי רעישנעל, כידוע המשל של המלון של הילברט.

נאך א באקאנטע אירעישענעל נומער איז די גאלדענע ראטע, וואס איז זייער אן אינטרעסאנטע נומער.

אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

קאפקע, פוילע תירוצים. סך הכל קענסטו געבן א לאז אויס די פאר תגובה'לעך וועלכע פליקן אריין יאיר'ן פון אויבן אראפ, און ליין נאר יאיר'ס הערליכע תגובות ודי בזה.


----- נאר פאר די וואס קענען שוין, ביטע נישט ליינען אויב איר זענט פון די "אינגע" -----
להצדיק את הצדיק, עלמער מסביר'ן יאיר'ס ווערטער אז ביז טריגאנאמעטריע שטויסט מען זיך נישט אן דערין, נראה לי כוונתו בזה אז ביז טריגאנאמעטריע קומט אונז כמעט נישט אויס צו דארפן האנדלן מיט די נומערן, דהיינו אלגעברע, און אזוי אויך א חלק גדול פון פרעקאלקולעס, און אין אמת'ן אריין אויך א שיינער חלק פון קאקולעס זעלבסט דארפן מיר נישט פאטשקען מיט אירעשאנעל נומערס זיך דאס אויסצולערנען (ואסביר כוונתי: מ'קען בעצם לערנען די קאנצעפטן פון לימיטס, דיפרענשיעשאן, רילעיטעד רעיטס וכן הלאה נאר וואס איז נוגע פאלינאמיעל און רעשאנעל פאנקשענס און אויסלאזן די טריגאנמעטריק און סקווער רוט פאנקשענס). מה שאין כן טריגאנאמעטריע איז נישט שייך אן דארפן צוקומען צו פיי (פ"א דגושה), פיטאגארעס'נס טעארעם וואס איז עפ"ר אירעשאנעל, וכדו'.

כדי רבי ישראל זאל נישט האבן קיין תירוצים, לאמיר פרובירן צוריקצופירן דעם שמועס אויף די רעלסן. די שאלה איז געווען איבער די באדייט פון פארשידענע קאטאגאריעס פון נומערן און די שאלה איז געווען וואס זיי באדייטן און פארוואס פארשידענע קאטאגאריעס פעלן אויס בכלל. יאיר, כדרכו בקודש, האט מסביר געווען בקוצר אמר"ים די באדייט און האט צוגעלייגט אן הבטחה אז אויפן וועג לערנט מען זיך שוין אויס די טערמינען און קאטאגאריעס. יאיר איז אוודאי גערעכט, אבער לאמיר נאר צולייגן איין קלייניגקייט. פאר מיר איז אלץ שווער געווען צו זיך איינחזרן די אלע קאטאגאריעס און פארשטיין וואס זיי מיינען אבער כ'מיין אז אויב מען וועט נוצן יאיר'ס משל פון א געביידע מיט שטאקן קען מען גוט ממחיש זיין די איידיע.

עס איז פארהאן א געביידע וועלכע פארמאגט צוואנציג שטאקן. צען דערפון זענען העכער די ערד, און די אנדערע צען זענען אונטערערדיש. ווען איר קומט אריין אינעם לאבי פונעם געביידע, געפונט איר זיך ביי א פונקט וואס רופט זיך אין מאטעמאטיש "דער ארידזשען" (the origin). דער פלאר פונעם לאבי איז זערא. עס איז אייניג מיט דער גאס, נישט העכער און נישט נידעריגער, און איר האט נישט געדארפט ארויפגיין אדער אראפגיין אנצוקומען דערצו.

אלזא, שטייענדיג אזוי אינעם לאבי, קומט צו צו אייך איינער, קראנק אויף מאטעמאטיקס כנראה, און פרעגט אייך: זאג נאר, ווי הויך איז די געביידע? וואס קען מען אים ענטפערן? צוויי תירוצים זענען גלייך אבוויעס. אדער קען מען אים זאגן תיכף: דער געביידע איז צען שטאקן הויך. אבער לאמיר נאר א מינוט טראכטן וואס מיינט דאס. אז מ'וועט ציילן פלאטפארמעס וועלן מיר האבן עלף, נישט צען. (דער לאבי, דער צווייטער שטאק, דער דריטער שטאק, דער פערטער שטאק, דער פיפטער שטאק, דער זעקסטער שטאק, דער זיבעטער שטאק, דער אכטער שטאק, דער ניינטער שטאק, דער צענטער שטאק, און דער דאך). אלזא, פארוואס זאגן מיר צען? דער תירוץ איז אז מיר רעכענען נישט פלאטפארמעס, מיר רעכענען פונעם לאבי ביזן דאך פונעם לאבי אלס "איינס". פונעם דאך פונעם לאבי, וואס איז אויך דער פאדלאגע פונעם צווייטן שטאק, ביזן דאך פונעם צווייטן שטאק אלץ "צוויי", און אזוי ווייטער. האט איר שוין דער באדייט פונעם ערשטן טערמין וואס ישראל קאפקע האט דערמאנט: קאונטינג נאמבערס (counting numbers). דאס זענען די נומערן 1, 2, 3, און ווייטער.

אבער לאמיר זיך נישט נארן, אין פאקט איז דער געביידע עלף פלאטפארמעס הויך, אינקלודינג דער לאבי. יא, ווען מיר ציילן רעכענען מיר נישט דעם לאבי פלאטפארמע באזונדער, אבער אויב איז "שטאק" עפעס אויף וואס מיר שטייען, איז דער לאבי און דער דאך פונקט אזעלכע מחותנים ווי די אנדערע שטאקן. אלזא, למען האמת מוזן מיר אנצייכענען אז דער געביידע איז עלף פלאטפארמעס הויך. און דאס איז דער באדייט פונעם צווייטן טערמין וואס קאפקע האט דערמאנט: האול נאמבערס (whole numbers). דאס זענען אלע קאונטינג נומערן, אבער בתוספות חידוש פון רעכענען זערא (0) אויך.

מיר האבן פריער געשריבן אז ווען מ'פרעגט אונז ווי הויך די געביידע איז זענען דא צוויי אבוויעס תירוצים. דער ערשטער איז "צען שטאק". וואס איז דער צווייטער? דער צווייטער אבוויעס תירוץ איז "צוואנציג שטאק"! פארוואס צוואנציג? ווייל דער בילדינג זעלבסט איז בעצם צוואנציג שטאקן הויך, נאר מה נעשה אז צען דערפון איז פארזונקן אונטער דער ערד, די שטאקן מתחת לאדמה טענה'ן למה נגרע? אלזא, אז מיר ווילן אויפריכטיג זיין דארפן מיר מודה זיין אז דער געביידע, אינדרויסן פונעם קאנטעקסט פון "געביידעס", איז אין פאקט צוואנציג שטאקן הויך. דאס איז אלזא דער באדייט פונעם דריטן טערמין וואס ישראל האט דערמאנט: אינטעדזשערס (integers). אינטעדזשערס רעכענען זיך נישט מיטן קאנטעקסט, און זיי וועלן זיין אלע האול נומערן, אבער בתוספות פון אלע נעגאטיווע האול נומערן: ... 5-, 4-, 3-, 2-, 1-, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....

יעצט בעפאר מיר גייען ווייטער, לאמיר נאר אנצייכענען א קלייניגקייט. די ערשטע צוויי קאטאגאריעס, whole numbers און counting numbers, האבן נישט קיין מאקסימום. מען קען ציילן און ציילן און קיינמאל נישט פערטיג ווערן. אין מאטעמאטיש זאגט מען דאס אז די נומערן גיין ביז אין סוף - אינפיניטי (infinity, דער סימבאל דערפאר איז אן 8 וועלכע האט זיך איבערגעקאצקעט: ∞). אבער אין די צייט וואס ארויף גייען זיי עד אין סוף, יש להם שיעור למטה, זיי האבן א מינימום. פאר whole numbers איז דער מינימום 0, און פאר counting numbers איז דער מינימום 1. מה שאין כן integers, די חברה האבן נישט קיין שיעור נישט למעלה און נישט למטה. מען קען זיי ציילן אויף ארויף בלי גבול און אויף אראפ בלי גבול. אין מאטעמאטיש זאגט מען דאס אז דאס גייט פון נעגאטיוו אינפיניטי (negative infinity, ∞-) ביז פאזעטיוו אינפיניטי (positive infinity, ∞).

נאך א קליינטישגע נקודה'לע, וועלכע איז בעצם א פשוט'ער געדאנק: א יעדע counting number, whole number און integer, איז אפגערוקט איינס פון דעם נעקסטן מיט 1. ווען איך געב אייך אן אינטעדזשער, לאמיר זאגן 5,098,467, און כ'בעט אייך: געבטס מיר דעם נעקסטן אינטעדזשער, אדער דעם נעקסטן קאונטינג נאמבער, אדער דעם נעקסטן האול נומבער, דארפט איר נישט מער ווי צולייגן 1 צו דעם נומער און דער רעזולטאט איז דער נעקסטער אינטעדזשער/האול/קאונטינג נאמבער. אין אונזער משל: 5,098,468. די זעלבע פארקערט, צוריקצוגיין צו איין אינטעדזשער בעפאר, דארפט איר נישט מער ווי אראפנעמען איין נומער.

אינעם נעקסטן תגובה וועלמער זיך רוקן צו די אנדערע צוויי קאטאגאריעס וואס קאפקע האט דערמאנט: רעשאנעל און אירעשאנעל נומערן.

ישראל קאפקע האט געשריבן:אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

סארי, ביסט גערעכט, אפשר קען איינע פון די גבאים עס ארויסנעמען און לייגן אין אנדערע אשכולות.
בדרך אגב, איך פערזענליך האב ליב צו קוקן אסאך מאל מאמרים איבער מאטעמאטישע מושגים וואס זענען ביזדערווייל למעלה מהשגתי, בלויע פאר דעם צו וויסן אז כ׳האב נאך א לאנגע וועג צו גיין. איך קען אבער נישט זאגן פאר אנדערע וואס צו טאן.

אלזא, מיר געפונען זיך ווידעראמאל אין דעם געביידע, און ווי דערמאנט איז עס צען שטאקן הויעך. אבער אט וועל איך אייך פארציילן אן אינטערעסאנטער פאקט איבער דער געביידע. דער געביידע, אלע צען שטאקן דערין, דינען אלץ וועירהאוז פאר א לייברערי. יעדער שטאק איז ארומגענומען פון וואנט צו וואנט מיט שענק, און א יעדער שאנק האט אפאר שורות פון פאליצעס (שעלווס בלע"ז). אבער הערט א מעשה. דער אויפזעער פונעם לייברערי האט א משוגעת, אז צווישן אלע פאליצעס מוז זיין אן אייניגע מרחק פון איין פאליצע צום צווייטן. דאס הייסט אזוי: דער אויפזעער האט געזאגט פאר די ארבעטער וועלכע האבן אויסגעלייגט די שעלווס אז זיי קענען לייגן וויפיל שעלווס זיי ווילן אויף א שטאק, אבער בתנאי אחת אז פונעם דאך ביז העכסטן פאליצע זאל זיין גענוי די זעלבע מרחק ווי פונעם דעם פאליצע צו איינס נידעריגער, און פון יענע צום נעקסטן אזוי ביזן פאדלאגע. פארשטייט זיך אז אויך פונעם נידעריגסטן פאליצע ביזן פאדלאגע, מוז אויך זיין די זעלבע מרחק ווי אלע אנדערע פאליצעס אויף יענעם שטאק.

כאשר צווה האויפזעער את הארבעטער, כן עשו. זיי האבן יעדן שטאק פונקטליך אויסגעמאסטן, דערנאך האבן זיי מחליט געווען וויפיל פאליצעס דער שאנק זאל האבן אויף יענעם שטאק, און צעטיילט די הייעך פונעם שטאק לויט די מספר פאליצעס וואס זיי האבן געוואלט לייגן. צום ביישפיל, דער צווייטער שטאק איז צען פוס הויך פונעם פלאר ביזן דאך. די ארבעטער האבן מחליט געווען צו לייגען זעקס שעלווס. האבן זיי גענומען צען פוס, צעטיילט אויף זעקס, און אזוי ארום אויסגערעכנט אז צווישן איין פאליצע און צווייטן מוז זיין פונקטליך פינף דריטליך פון א פוס. זעקס מאל פינף דריטלעך איז פונקטליך צען, חושבנא דידן כחושבנא דידין. ווידעראום דער דריטער שטאק איז געווען צוועלף פוס. די ארבעטער האבן דארט געוואלט לייגן פינף פאליצעס. האבן זיי גענומען די צוועלף פוס, צעטיילט אין פינף, און אזוי אויסגערעכנט אז צווישן יעדן צוויי פאליצעס דארפן זיין פונקטליך צוויי און צוויי פינפטלעך פוס. פינף מאל צוויי און צוויי פינפטלעך איז פונקטליך צוועלף. און אזוי האבן זיי געטון אויף יעדן שטאק.

ויהי היום, געווען איז דאס אין א שניי'איגער ווינטער טאג, און דער אויפזעער רוקט זיך אן צום ארבעט. מען האט דאן געהאלטן ביים זעקסטן שטאק וועלכע איז געווען צען פוס הויך. די ארבעטער האבן געהאלטן אינמיטן מחליט זיין וויפיל שעלווס צו לייגן אויף יענעם שטאק ווען דער אויפזעער קומט אן, קוקט זיך ארום, און פלוצלינג געט ער א ווייז מיט די הענט אויף א געוויסע פלאץ אויך די וואנט און ער זאגט: "דא, אט אויף דעם פלאץ, מוז זיין א שעלף!". נו, געזאגט און געטון, די ארבעטער באהעפטן תיכף א שעלף צו יענעם פונקט, און דער אויפזעער שפאצירט אוועק צופרידנערהייט.

הייבן זיך די ארבעטער אן ברעכן קאפ וויפיל שעלווס צו לייגן אזוי אז אלע שעלווס זאלן זיין די זעלבע מרחק איינס פון אנדערן און צו זייער ערשטוינונג זעען זיי אז וויפיל שעלווס זיי זאל נאר נישט פרובירן צו לייגן, איז קיינמאל נישטא קיין אייניגע מרחק צווישן איין שעלף צום צווייטן, און אלעס וויבאלד דער שעלף וואס זיי האבן ערשט אריינגעלייגט שטייט זיי ווי א ביין אין האלז, נישט צום שלינגן און נישט צום שפייען.

מען האט פרובירט לייגן זעקס שעלפס, זיבן שעלפס, צען שעלפס, פופצן שעלפס, און אלע נומערן אינצווישן, אבער קיין איינס האט נישט געטויגט, עס איז קיינמאל נישט געווען קיין גענויער מרחק צווישן איין שעלף אינעם צווייטן. רופן זיי אן דעם אויפזעער און מיט ייאוש זאגן זיי אים אז זיי געבן אויף.

"דיין שעלף וואס דו האסט אריינגעלייגט היינט אין דערפרי האט גע'הרג'ט די זאך! מיר קענען זיך מער נישט האלטן צו דיין ערשטער תנאי פון אייניגע מרחק צווישן איין שעלף און צווייטן!" דער אויפזעער קען עס נישט גלייבן, ער האלט עס איז פוילע תירוצים. קומט ער אריבער צום ארבעטספלאץ און הייבט אן רעכענען און ער איבערצייגט זיך, lo and behold, די ארבעטער זענען גערעכט!

"הפלא ופלא!", שרייט דער אויפזעער. "מיר האבן אנדעקט א מורא'דיגע אנטדעקונג! עס זענען דא פלעצער אויף דער וואנט וואס אויב לייגט מען אהין א שעלף קען מען דערנאך נישט צעטיילן דעם שטאק אין אייניגע אפטיילונגען!"

א מאטעמאטיקער וועלכער איז פונקט פארבייגעגאנגען (יודעי דבר זאגן אז דאס איז דער זעלבער וועלכער שטייט דארט ביזן היינטיגן טאג און רודפ'ט פארבייגייער זאלן אים זאגן ווי הויעך דער געביידע איז), שטעלט זיך אפ און זאגט פארן אויפזעער מיט א שמייכל, "דער אנטדעקונג האט שוין א נאמען: עס הייסט אירעשאנעל נאמבער".

גענוג געווען מיטן משל, לאמיר צוקומען צום נמשל. ווי יאיר האט אויבן מסביר געווען איז דער ווארט rational אין מאטעמאטיש נישט דער באדייט עפעס וואס איז לאגיש, ווי דער היינטיגער באניץ פון ראציאנאל איז, נאר עס מיינט עפעס וואס איז צעטיילבאר, מען קען דערפון מאכן א ratio. אלזא, rational נומערן זענען נומערן וועלכע קענען זיין א חלק פון א גלייכער חלוקה.
לאידך גיסא, irrational numbers זענען נומערן וועלכע געפונען זיי ביי אזא פונקט אינצווישן צוויי מרחקים אז מען קען זיי נישט נוצן צו מאכן א גלייכער חלוקה צווישן די צוויי מרחקים.

אין מאטעמאטיש זאגט מען אז א רעשאנעל נומער קען ווערן געשריבן ווי א פרעקשאן פון צוויי אינטעדזשערס. דעם נומער צען צום ביישפיל קען מען שרייבן אויך אזוי: 10/1. דערפאר איז צען א רעשאנעל נומערן. 2 מיט דריי פיפטלעך קענען אויך געשריבן ווערן אלץ רעשאנעל נומערן - א פרעקשאן וועלכע באשטייט פון צוויי אינטעדזשערס: 13/5. מה שאין כן אירעשאנעל נומערן קענען נישט ווערן געשריבן אלס פרעקשאן פון צוויי אינטעדזשערס, זיי זענען נישט קיין חלק וועלכע קענען דינען אלס גלייכער חלוקה צווישן צוויי נומערן, אדער, אין די ווערטער פון אונזער אויפזעער, "אז מען לייגט אהין א שעלף קען מען בשום אין אופן אהינלייגן דארט נאך שעלפס און עס זאל זיין אן אייניגער מרחק צווישן איין שעלף אין צווייטן."

כ'האב פארגעסן צוצולייגן א בילד פון א נאמבער ליין וועלכע צייגט רעשאנעל ווערסוס אירעשאנעל נומער. ס'דא אסאך, אבער כ'האב נישט יעצט קיין געדולד צו זוכן. אלזא געט א קוק אויפן בילד:



די שווארצע ליניעס זענען רעשאנעל נומערן. זיי צעטיילן אייניג דעם מרחק צווישן איינס און צוויי. דער רויטער ליניע (וועלכע איז די סקווער רוט פון 2) ליגט אויף א פלאץ וועלכע קען נישט אייניג צעטיילן דעם מרחק צווישן 1 און 2, נישט קיין חילוק וויפיל ליניעס מיר זאלן לייגן פונעם רעכטן און לינקן זייט.

יאיר האט געשריבן:יעצט די גראמאטיק כללים. איך וועל אנהויבן מיט די order of operations.

אגב, פארצייטנס איז געווען דא א מעמבער הציץ ונפגע וועלכע האט געעפנט אן אשכול "א מאטעמאטישער סאמעטוכע" טאקע איבער דעם ארדער אף אפערעשאנס, עיי"ש ותמצא נחת.

א גרויסן דאנק פאר אלע באטייליגער, איהר זענט מחי' נפשות.

יאיר האט געשריבן:באמת וואלט דער ארכיטעקט נישט געמוזט בויען דעם בנין המתמתיקה אויף דעם אופן. ער וואלט געקענט למשל מאכן אז עס זאל זיין א צוועלפער עלעוועיטער אנשטאט א צענער, און איין שטאק אין דעם צוועלפער עלעוועיטער זאל זיין צוועלף שטאק אויפ'ן איינסער. דערנאך האט ער געקענט מאכן א צוועלף מאל צוועלף שטאק עלעוועיטער, וואו יעדער שטאק ענטהאלט צוועלף מאל צוועלף שטאק אנשטאט צען מאל צען. אבער ער האט גענוצט צען שטאק אקעגן די צען פינגער, און מיר וועלן נישט משנה זיין פון די מסורה.

אז מען רעדט שוין פונעם אמאל, דא איז געווען א מעמבער יידל וואס האט פארגעלערענט א שיעור אין דעם.

ישראל קאפקע האט געשריבן:אויס אשכול פאר די וואס ווילן לערנען מאטעמאטיק על הסדר,
ס'איז נאך אן אשכול פון פילע פאר די וואס קענען שוין גוט מאטעמאטיק און ווילן איבערשמועסן אינטערעסאנטע קרישקעלעך וואס מיר די אינגע וואס ווילן לערנען פארשטייען נישט קיין ווארט, חבל.

ביסט כשר גערעכט. עס מאכט זייער נערוועז פאר א בעגינער זיך באלד צו באגענען מיט הויך שטאקיגע פרעמדע מושגים. און איך קויף נישט יידל'ס תירוץ אז מען קען דאס אויסלאזן. ממילא בעט איך אלע גאוני'שע מעמבערס דא וואס קענען שוין ש"ס ופוסקים זיך צו האלטן אויף די בעגינערס דרגה פון דעם אשכול, ווי יידל האט טאקע געטון אין זיינע לעצטע צוויי תגובות. איך בין באמת נתפעל פון זיין ארבעט און אפן גערעדט, ער האט מיר אליין קלארער געמאכט ווי אזוי צו אנקוקן אן אומראציאנעלער נומער.
לאמיר נאר צוענדיג די ארבעט וואס ער האט אנגעהויבן, און ערקלערן ווי אזוי מיר גיין למעשה רעכענען די אומראציאנעלע נומערן. דער אופן ווי אזוי מען שרייבט אראפ געווענליכע צוטיילטע נומערן איז דורך דעסימעלס. דהיינו, מען לייגט א פינטעלע אויף די רעכטע זייט פון דעם נומער, און רעכטס פון דעם פינטל שרייבט מען די דעסימעל נומערן. למשל אויב איר וועט אריינשטעלן אין אייער קאלקולעיטאר 3/2, וועט ארויפקומען דער ענטפער 1.5. דאס מיינט, לויט דעם פריערדיגן משל, אויב צוטיילט מען דריי שטאק אין צוויי, וועט יעדער שטאק זיין איין גאנצער שטאק פלוס נאך פינף צענטלעך פון א שטאק.
מען קען דאס בעסער פארשטיין לויט ווי איך האב פריער ערקלערט דעם באדייט פון די נומערן וואס מיר נוצן: 15, איז איין צענער און פינף איינסערס. ווייל די רעכטע זייט איז דער איינסער פלאץ, און דער לינקער זייט איז דער צענער פלאץ. ווען מען רעדט פון דעסימעלס גייט עס פונקט פארקערט, די לינקע זייט איז דער צענטל ארט, רעכטס פון דעם איז דער הונדערטסטל ארט, רעכטס פון דעם איז דער טויזנטסל ארט און אזוי ווייטער. דער חילוק איז נאר אז אין דעסימעלס, וואס העכער דער ארט איז אלס קלענער איז דער נומער. למשל איין צענטל איז פיל גרעסער ווי איין הונדערטסטל. אויב איך צוטייל א שטאק אין הונדערט און איך נעם איין שטאק, איז דער שטאק פיל קלענער ווי ווען איך צוטייל א שטאק אין צען און איך נעם ארויס איין שטאק. ממילא ווען איך האב א נומער ווי 1.5, איז פשט אז איך האב פינף צענטלעך, דהיינו פינף שטאקן, אבער נישט געווענליכע שטאקן, נאר נאכדעם וואס איך האב עס צוטיילט ביי צען. ווען איך האב א נומער ווי 1.05, דאן האב איך איין גאנצער שטאק, זערא צענטלעך פון א שטאק, און פינף קליינטשיקע הונדערטסלעך פון א שטאק. וואס איז פיל קלענער ווי 1.5, וואו איך האב פינף גאנצע צענטלעך. אלזא, לאמיר דאס קלאר מאכן. אויב איך האב א נומער כזה 800.008, האב איך אכט שטיק פון די הונדערטער שטאקן, זערא פון די צענער שטאקן, זערא פון די איינסער שטאקן, זערא פון די צענטלעך שטאקן, זערא פון די הונדערטסלעך שטאקן, און אכט פון די גאר קליינע טויזנטסלעך שטאקן. אויב האב איך דער נומער 800.800, דאן האב איך אכט הונדערט שטאק, פלוס אכט צענטלעך שטאקן. אין אזא פאל קען איך אוועקנעמען די סאמע רעכטע צוויי זעראס, ווייל וואס פעלן זיי מיר אויס? עס איז פונקט ווי איך זאל שרייבן 008, וואס יעדער פארשטייט איז די זעלבע ווי 8. אויב האב איך 008.800, קען איך אוועקנעמען אלע זעראס פון די זייטן וואס גיבן מיר גארנישט, און איך בלייב איבער מיט אכט גאנצע שטאקן און אכט צענטלעך שטאקן.
מהאי טעמא וועט איר פארשטיין אז 1.3 איז גרעסער ווי 1.19, כאטש דער נומער ניינצן זענען מיר געוואוינט איז גרעסער ווי דריי, דאס איז נאר אויף די לינקע זייט פון דעם דעסימעל פונקט, ווי וואס מער לינקס אלס העכער דער נומער, אבער רעכטס פון דעם דעסימעל פונקט איז פונקט פארקערט. אזוי אויך איז 1.50 קלענער ווי 1.6. ווייל דער ערשטער איז פונקט ווי 1.5.
אין אנדערע ווערטער, מען קען אנקוקן דער דעסימעל פונקט ווי דער צענטער פון דעם נומער, וואס עס גייען ארויס אויף רעכטס די פרעקשאנס פון די נומערן, און אויף לינקס די גאנצע נומערן, און אויף ביידע זייטן וואקסן די נומערן וואס ווייטער זיי גייען.
אויב איר האט נאך געדולד, קען מען יעצט צוריקגיין צום אומראציאנעלן נומער און זאגן אזוי: מען קען טאקע נישט צוטיילן דעם שטאק אקוראט אזוי אז דער רויטער פאי ליניע זאל זיין ממש ביים צוטיילונג, אבער מען קומען עטוואס נאנט דערצו. אלזא, למשל דער נומער פאי, קוקט מען און מען זעט אז עס איז צווישן דריי און פיר, אלזא, קודם האב איך גאנצע דריי שטאק, און מיר גייען דאס אראפשרייבן כזה 3. דערנאך זע איך אז אויב מען וועט צוטיילן דעם דריטן שטאקן אויף צען, וועט דער רויטער ליניע זיין צווישן דעם ערשטן און דעם צווייטן צענטל-שטאק (אדער שעלף, ווי יידל גלייכט צו האבן פלאץ פאר זיינע ביכער). ממילא קען איך שרייבן 3.1, דערנאך זע איך אז אויב מען וועט צוטיילן דעם צענטל שטאק צווישן 1 און 2 אין פרישע צען שטאק (דהיינו, אין הונדערטסלעך שטאקן), וועט די רויטע ליניע זיין צווישן דעם פערטן און דעם פיפטן הונדערטסטל שטאק, ממילא שרייב איך ווייטער 3.14. אזוי גיי איך ווייטער און ווייטער, און איך האלט נאכאלס אינמיטן גיין. מאטעמאטיקער האבן שוין אויסגערעכנט דעם רויטן פאי ליניע ביז די טריליאנען נומערן, און מען שטעלט אריין דער רויטער ליניע אין א שמאלערער און שמאלערער פלאץ, אבער דערווייל קומט מען נאר נענטער דערצו, עס איז אוממעגליך אנצוקומען ממש ביז אהין אן קפיצת הדרך.

איך מיין מ'זאל געבן די מאטאמאטיק קלאסן שפעטער ביינאכט אדער שפעט נאכמיטאג. כ'קען נישט ארבעטן און זיין פארנומען חשבונ'ען חשבונות.

גראדע, יאיר, כ'מעג גיין אין ביסקיס?

ביסט דאך דארט.

אפשר זאגסטו מיר יאיר טייערער וויאזוי קפיצת הדרך וועט אונז העלפן מיט פאי? קידדינג, קידדינג. און ייש"כ פארן אזוי הערליך מסביר'ן. הלוואי ווען איך וואלט געהאט אזא טיטשער.

יאיר האט געשריבן:חכמים מתקן געווען א סדר וועלכע מען מאכט קודם און וועלכע נאכדעם, וסימנך PEMDAS, ווי דער מהרש"א ערקלערט איז דאס ר"ת: parentheses, exponential, multiplication, addition, subtraction.

האסט אויסגעלאזט division וואס גייט צוזאמען מיט\נאך multiplication.