אזוי ווי מ׳האט שוין דא (ווי אויך אין אנדערע אשכולות) דורכגעטוהן די סוגי נומערן פון counting ביז irrational, וועל איך פרובירן מרחיב צו זיין און מסביר זיין די סעט פון
נישט-עכטע [imaginary] נומערן, וואס יאיר האט דערמאנט. אבער קודם וועל איך מאכען אפאר הקדמות. (איך וועל עס פרובירן צו מאכן און מסביר זיין ווי מער בפשטות, אבער איך אנטשולדיג מיר פון פאראויס טאמער איך בין דאס נישט גענוג גוט מסביר.)
ווי בערל האט ערווענט (ווי אויך איז עס דערמאנט געווארן אין אנדערע אשכולות) אז אויב מען מאלטיפלייט צוויי נומערן און איינס איז פאזעטיוו און איינס נעגאטיוו, וועט די ענטפער
אלעמאל זיין נעגאטיוו, נישט קיין חילוק וועלכע נומער איז (אבסאלוט) גרעסער. משא״כ אויב מען מאלטיפלייט צוויי נעגאטיווע נומערן (וכ״ש וכמובן אויב ביידע זענען פאזיטיוו), וועט די ענטפער
אייביג זיין פאזיטיוו. די סיבה דערצו איז גאר פשוט מסביר צו זיין:
4*2=8
3*2=6
2*2=4
1*2=2
0*2=0
(1-)*2=(2-)
זעה׳מיר אז יעדעס מאל איך מאלטיפליי די זעלבע נומער [אין אונזער פאל 2] ביי איינס נידעריגער [3, 2, 1 וכו׳], גייט עס אראפ מיט איין פעקטאר פון די נומער איך מאלטיפליי [2]; א פאטערן. איז ווען איך גיי נאך נידעריגער, נעגאטיווע נומערן, וועט דער ענטפער אויך אראפגיין צו נעגאטיווע נומערן מיט די פאקטאר. דאס ווייזט אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט מיט א פאזיטיוו וועט פראדוצירן א נעגאטיוו.
איינמאל אונז ווייסן מיר דאס קען מען אויפווייזן אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט מיט א נעגאטיוו מאכט א פאזיטיוו.
3*(2-)=(6-)
2*(2-)=(4-)
1*(2-)=(2-)
0*(2-)=0
(1-)*(2-)=2
וויבאלד אונז ווייסן מיר שוין אז א נעגאטיוו מאלטיפלייט ביי א פאזיטיוו ווערט א נעגאטיוו, איז ווען איך מאלטיפליי א נעגאטיוו ביי א פאזיטיוו און צוביסלעך רוק איך אראפ דעם פאזיטיוו נומער זעה איך אז די ענטפער רוקט זיך אלס ארויף צו פאזיטיוו מיט די פאקטאר פון די (אבסאלוט) נומער איך מאלטיפליי [2]; אויך א פאטערן. ביז איך קום אן אז ביידע זענען נעגאטיוו און מיין ענטפער ווערט פאזיטיוו.
אויך וויל איך מקדים זיין און מסביר זיין וואס דאס איז עקספאנענטס (מ׳רעדט דערפון אויך אין אנדערע אשכולות). פונקט אזוי ווי מאלטיפליקעישאן איז עדישאן וואס איז איבערגע׳חזר׳ט, כגון 3*5 איז 5+5+5 (אדער 3+3+3+3+3), די זעלבע איז עקספאנענטס ביחס צו מאלטיפליקעישאן. למשל, אז איך האב 4*4*4 קען איך דאס שרייבן 3^4 (ס׳איז 4 מיט א קליינע 3 פון אויבן), וואס זאגט מיר אז די נומער 4 טוה איך מאלטיפלייען 3 מאל נאכאנאנד.
דאס פירט ווייטער אריין אין צו ראדיקאלס/רוטס וואס איז עקספאנענטס אויף צוריקצווועגס (פארוואס? האט דאס אויך שיין מסביר געווען דא l
viewtopic.php?f=19&t=5826 l ). דהיינו, איך וויל למשל וויסן ״וועלכע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער״ ברענגט מיך צו 25, וואס אויף דעם איז די ענטפער 2^5 [5*5]. די שאלה איז א רוט פון 2, ווייל איך האב געפרעגט וועלכע נומער מאל וועלכע נומער; נאר צוויי מאל [אן עקספאנענט פון 2]. איך קען פרעגן ״וועלכע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער מאל/טיימס די זעלבע נומער״ וועט מיך ברענגען צו 64, און די ענטפער איז 3^4 [4*4*4]. די שאלה איז געווען א רוט פון 3, ווייל איך האב געוואלט וויסן וועלכע נומער מאלטיפלייט [אן עקספאנענט] 3 מאל ברענגט מיר צו די נומער.
יעצט שטעלט זיך די שאלה וואס איז טאמער איך וויל וויסן די 2 [סקווער] רוט פון א נעגאטיווע נומער, למשל (25-). די שאלה פרעגט וועלכע נומער מאל/טיימס די
זעלבע נומער (נאר צוויי מאל געשריבן) וועט מיר ברענגען צו (25-). איז לא׳מיר זעהן (5-)*(5-) הא׳מיר דאך אויבן מברר געווען וועט זיין 25 [פאזיטיוו] און נישט (25-) [נעגאטיוו]. ווידער, אויב מאך איך 5*(5-), הגם די ענטפער איז טאקע (25-) זענען זיי דאך
נישט די זעלבע נומער.
די פראבלעם וועט מען האבן ווען אימער מען וויל אן
איווען [2, 4, 6... וכו׳] רוט פון א נעגאטיווע נומער. משא״כ ווען מען זוכט די
אדד [3, 5, 7... וכו׳] רוט פון א נעגאטיווע נומער קומט מען
יא צוריק אן צו א נעגאטיווע נומער. למשל, די 3 רוט פון (27-) איז (3-) כזה: (3-)*(3-) איז טאקע פאזיטיווע 9 אבער נאכדעם מאך איך נאכאמאל [א דריטע מאל, אזוי ווי די רוט האט געבעטן געוואר צו ווערן] *(3-), וואס איז 9*(3-) גייט עס טאקע זיין (27-). און אזוי ביי יעדע אדד רוט פון א נעגאטיווע נומער.
עכ״פ ביי איווען רוטס פון א נעגאטיווע נומער דערזעהן אונז זיך מיט א פראבלעם: וואס איז די ענטפער? וועלכע נומער איז דאס וואס ווען איך גיי עס מאלטיפלייען ביי זיך אליין (/שרייבן אן איווען נומער פון מאל) וועל איך אנקומען צו א נעגאטיווע נומער? דער תירוץ אויף דעם איז די נומער i (מ׳דארף אין אכט נעמען אז i איז א
נומער, און נישט א וועריעבעל אזוי ווי x). דאס מיינט די סעט פון אימעדזשינערי נומערן, דהיינו די סעט פון ״
נישט-עכטע״ נומערן.
למשל, אונזער פריערדיגע משל פון די סקווער [2] רוט פון (25-) וועט זיין 5i. דהיינו, איך טשעפע צו אן i צו די נומער וואס וואלט ווען געווען די סקווער [2; אן איווען] רוט פון פאזיטיווע 25, וואס איז 5 [5*5=25], צו ווייזען אז
די 5 איז אין די סעט פון אימעדזשינערי נומערן, וואס ווען איך מאלטיפליי זיי ביי זיך אליין [i*i] קום איך אן צו א נעגאטיווע נומער.
עס איז אינטרעסאנט/וויכטיג צו באטאנען אז יעדע אימעדזשינערי נומער איז צאמגעשטעלט פון אן אימעדזשינערי חלק און א געהעריגע/עכטע חלק. למשל, 2i+43; די 2i איז די אימעדזשינערי חלק און די 43 איז די עכטע חלק. דאס רופט זיך א
קאמפלעקס נומער. אין אונזער פריערדערמאנטען פאל, 5i, איז די קאמפלעקס נומער 5i+0. ווען מ׳מאכט עדישאן אדער סאבטרעקשאן אויף צוויי קאמפלעקס נומערן, עדד/סאבטרעקט מען די צוויי אימעדזשינערי חלקים אליין און די צוויי עכטע חלקים אליין. (מאלטיפליקעישאן און דיוויזשאן זענען שוין אביסל מער ״קאמפליצירט״... ואפשר עוד חזון.)
עס איז אויך אינטרעסאנט אנצומערקן אז ווען איך גיי געבן אן עקספאנענט פון 4 אדער מאלטיפל דערפון [4, 8, 12, 16... וכו׳] צו i וועט עס צוריקווערן א פאזיטיווע נומער. לא׳מיר נעמען i אליין, וואס איז אזוי ווי עס וואלט געווען/געשטאנען 1i, און עס געבן אן עקספאנענט פון 4, וואס מיינט i*i*i*i. יעצט לא׳מיר גיין צוביסלעך. i*i איז (1-), ווייל אונז האבן דאך א גאנצע צייט געזאגט i*i ברענגט אונז צו א נעגאטיווע נומער [i איז די איווען רוט פון א נעגאטיווע נומער], און אין די פאל איז עס (אזוי ווי) 1*1 און עס גייט מיר ברענגען צום נעגאטיווען (1-). יעצט, לא׳מיר עס מאכן א דריטע מאל (1-)*i. דאס גייט יעצט זיין (1i-), וואס איך קען שרייבן אלס (i-). יעצט, גיי מיר עס מאכן דעם פערדן און לעצטע מאל (i-)*i. ווי ערווענט איז i*i דער ענטפער (1-), אבער יעצט דארף איך דאס אויך מאלטיפלייען ביי א נעגאטיוו (1-), ווייל איינע פון די i נומערן איז דאך א נעגאטיוו. און ווי דערמאנט אין אנהויב א נעגאטיווע נומער, אין אונזער פאל א (1-), מאלטיפלייד ביי א נעגאטיווע נומער (אין אונזער פאל ווייטער א (1-)) וועט זיין א פאזיטיוו. איז זע׳מיר צוריק אנגעקומען צו א פאזיטיווע נומער. וחוזר חלילה ביי אן עקספאנענט אין סייקלס פון 4.
איך אנטשולדיג מיר נאכאמאל אויב וועגן מיין (סיגנון ה)לשון איז עס נאכאלס צו ״קאמפליצירט״.