מאטעמאטיק: פריים נומערן

אין די משפחה מאגאזין איז די וואך געווען אן ארטיקל איבער פריים נומערן. דאס זענען די נומערן וואס מען קען נישט צוטיילן אין קיין אנדער נומער אויסער 1 און דער נומער אליין. למשל, 3 און 2 קען מען נאר צוטיילן אין דריי איינסערס, אזוי אויך פינף קען מען נאר צוטיילן אין איינסערס, נישט אין צווייערס אדער דרייערס. שטייט דארט וועגן דעם אז די פריים נומערן זענען אינפיניט, און אזוי אויך געדענק איך א שאלה איבער דעם כלל אז מען קען צוטיילן יעדן פאזיטיוון נומער אין צוויי פריים נומערן, צו ס'איז דא א הוכחה דערצו. און פיינעלי, שטייט דארט עפעס וואס כ'האב נישט פארשטאנען, אז עס זענען פארהאן קאוד שפראכן וואס ארבעטן אויף א סיסטעם אז מ'קען דאס נישט אויפברעכן נאר אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן, און אזוי ווי מ'רעדט פון גאר הויכע ציפערן איז כמעט אוממעגליך דאס אויפצוברעכן. איך וועל בעטן כבוד הרב הגאון, חכם וסופר, מדען וידען, @שליח יקירנו זאל מער מרחיב זיין את הדיבור.

א גרויסע יישר כח יאיר פארן ארויף ברענגן דער נושא. איך האב אויך געליינט מיט שטארקע אינטערעסע די ארטיקל פון דאקטאר Andrew Goldfinger און איך האב עס אויסגעשניטן פאר ווייטערדיגע ריסערטש. (אגב, זיינע ארטיקלן זענען איינס ביי איינס געוואלדיג.)

כיאיר, וויל איך אויך פארשטיין דער נושא. וואס פונקטלעך איז א פריים נומער? איך פארשטיי אז ס'פארהאן אסאך even נומערן וואס זענען פריים, ווי אזוי קען עס זיין? און ס'פארהאן אסאך odd נומערן וואס זענען נישט פריים, ווי אזוי קען עס זיין? פארוואס האלטן מאטימאטיקער אז ס'דא אינפינייט פריים נומערן? און פארוואס זענען זיי נישט זיכער דערוועגן? ווי שווער איז עס שוין צו ערפינדן א קאמפיוטער עס אויס צו רעכענען?

יישר כח למפרע.

חוץ נומבער ״2״ וועלכער איווען נומבער איז פריים ?

פריים נומערן זענען ווי די אטאמען אין עולם המספרים, יעדער נומער איז אדער א פריים אדער באשטייט ער פון פריים נומערן. למשל 3 און 5 זענען פריימס, 15 באשטייט פון 3 און 5 (15 = 5 * 3). דאס איז די פונדאמענטאלע טעארם פון אריטמעטיק. צוברעכן א נומער אויף זיינע באשטאנדטיילן ווערט אנגערופן integer factorization.

מיר ווייסן אז ס'זענען דא אינפיניט פריימס, די ליסטע ענדיגט זיך נישט קיינמאל. איינס פון די הוכחות איז כמעט טריוויאל: נעמט א ליסטע פון פריים נומערן (לאמיר זאגן אלע פריימס אונטער צען: 2, 3, 5, 7), רעכנט זיי צוזאמען (210 = 7 * 5 * 3 * 2), און לייגט צו איינס (האלטן מיר ביי 211). מיר וועלן זיך גאנץ שנעל איבערצייגן אז דער נומער צוטיילט זיך נישט אין די פריימס וואס מיר האבן אויף אונזער ליסטע, אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים! מוז זיין אז אונזער ליסטע פארמאגט נישט אלע פריימס וואס זענען פארהאן (אין אונזער פאל איז טאקע 211 אליינס א פריים). וויבאלד מ'קען אזוי אנגיין לעולם ועד, מוז זיין אז ס'זענען דא אין-סוף פריימס.
אבער וויבאלד מיר רעדן דאך אין דעם אשכול פון כמה מינים אינפיניטיס, וועלכע סארט אינפיניטי איז דאס? ווי געשריבן אויבן, אלף-זערא. אין אנדערע ווערטער: עס זענען דא פונקט אזויפיל פריים נומערן ווי (natural) נומערן בכלל! האט איר נאך א פאראדאקס בעניני אינפיניטי.

יאיר האט געשריבן:און אזוי אויך געדענק איך א שאלה איבער דעם כלל אז מען קען צוטיילן יעדן פאזיטיוון נומער אין צוויי פריים נומערן, צו ס'איז דא א הוכחה דערצו.

אין פונקטליכערע ווערטער: יעדע even נומער פון 4 און העכער קען אויסגעדריקט ווערן ווי דער סכום פון צוויי פריים נומערן, דאס איז גאלדבאך'ס שפעקולאציע. לדוגמא, 100 = 97 + 3. אויף ווי ווייט מ'האט בודק געווען (4000000000000000000) שטימט עס, אבער קיין proof האט מען נאכנישט. אויב איז דאס אמת, איז מוכרח פון דעם א צווייטע כלל: יעדע odd נומער העכער 5 קען אויסגעדריקט ווערן ווי דער סכום פון דריי פריים נומערן. ממש לעצטענס איז איינער אויפגעקומען מיט א proof, וואס כפי הנראה יש דברים בגו, הגם די מאטעמאטישע וועלט דארף עס נאך גרונטליכער דורכטון. אבער דער proof וועט לכאורה נישט ארבעטן אויף צוריק, מוכיח צו זיין אויך דער ערשטער כלל.

יאיר האט געשריבן:און פיינעלי, שטייט דארט עפעס וואס כ'האב נישט פארשטאנען, אז עס זענען פארהאן קאוד שפראכן וואס ארבעטן אויף א סיסטעם אז מ'קען דאס נישט אויפברעכן נאר אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן, און אזוי ווי מ'רעדט פון גאר הויכע ציפערן איז כמעט אוממעגליך דאס אויפצוברעכן. איך וועל בעטן כבוד הרב הגאון, חכם וסופר, מדען וידען, @שליח יקירנו זאל מער מרחיב זיין את הדיבור.

דאס האט שוין מיט computational complexity theory. אהן אריינצוגיין אין פרטים און סיבות, זענען דא חשבונות (אלגאריטמס) וואס זענען שווער און קאמפליצירט און אנדערע וואס זענען פיל גרינגער און פשוטער. למשל חיבור (addition) איז געווענליך גרינגער ווי כפל (multiplication), וואס איז גרינגער ווי חילוק (division). אויף וויפיל מ'ווייסט יעצט, איז factorization (צוברעכן א נומער אויף זיינע פריים חלקים) זייער שווער, ובפרט ווען ס'קומט צו העכערע נומערן. א היינטיגע קאמפיוטער וואלט נישט געהאט קיין גאר-גרויסע פראבלעמען אויסצורעכענען אז

קאוד: וועל אויס אלע

33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489

מאל

קאוד: וועל אויס אלע

36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917

איז

קאוד: וועל אויס אלע

1230186684530117755130494958384962720772853569595334792197322452151726400507263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413

. ס'האט אבער גענומען צוויי יאר פאר הונדערטער קאמפיוטערס צוזאמען צו גיין דעם וועג פארקערט, געוואויר ווערן אז דער גרעסערער נומער באשטייט פון די צוויי קלענערע (PDF).

יעצט לאמיר כאפן א בליק אויף cryptography, נאר גענוג אויף צו פארשטיין דער געדאנק. ווען איינער שרייבט עפעס ביי זיך אויפן קאמפיוטער, און ער וויל קיינער אויסער ער זאל עס קיינמאל נישט קענען ליינען, קען ער עס ענקריפטן, "פארשפארן" מיט א געוויסע נומער. ס'זענען דא גאר אסאך אזעלכע פראגראמען, וואס מ'לייגט אריין א נומער, און דער פייל ווערט אומליינבאר ווילאנג מ'לייגט נישט נאכאמאל אריין דעם נומער. שטעלט אייך פאר ער לייגט אריין דעם אויבנדערמאנטן ריזיגן נומער, איז עס גאנץ פארזיכערט, קיינעם וועט קיינמאל נישט איינפאלן אזא נומער, אלעס פיין און וואויל. וואס איז אבער אויב וויל מען א encrypted connection, למשל כ'וויל פלוני זאל מיר שיקן עפעס אויף אימעיל, אבער די אלע קאמפאניס דורך וועמען דער אימעיל גייט אריבער זאלן עס נישט קענען ליינען? איינער זאל שרייבן פארן צווייטן וואס דער נומער איז איז אוודאי נישט קיין לעזונג, ווייל די קאמפאניס קענען דאך זעהן וואס מ'שרייבט. מיר זוכן א שלאס וואס סיי ווער קען צושפארן אבער נאר איינער קען עפענען.
דאס איז דער אויפטו פון public-key cryptography, נוץ צוויי נומערן אנשטאט איינס, איינס א באהאלטענע און א צווייטע וואס יעדער מעג וויסן. די צוויי נומערן האבן א שייכות, אבער ס'איז אוממעגליך (אדער אויסטערליש שווער) צו דערגיין דעם באהאלטענעם נומער פונעם אפענעם. וואו פארשאפט מען אזעלכע נומערן? איינס פון די וועגן איז וואס מ'האט אויסגעשמועסט אויבן, ווער ס'ווייסט דעם ריזיגן נומער ווייסט נאכנישט די פריימס פון וואס ער באשטייט, אבער ס'איז גענוג גרינג צו מאכן דעם גרויסן נומער פון די פריימס אז כ'זאל עס קענען נוצן. צוריק צו אונזער מעשה, כ'בין מודיע פאר פלוני ער זאל ענקריפטן דעם פייל מיטן ריזיגן נומער, כ'מאך בכלל נישט קיין סוד דערפון, יעדער מעג עס וויסן. מ'קען אבער נישט דעקריפטן דעם פייל מיט דעם נומער, מ'מוז אריינלייגן איינע פון זיינע פריימס, וואס ליגט ביי מיר במחתרת. ווען איך לייג אריין דעם פריים אינעם פראגראם נעמט אים נישט לאנג אויסצורעכענען אז ס'שטימט מיטן ריזיגן נומער מיט וואס דער פייל איז פארזיגלט, ווייל מאכן א נומער פון פריימס איז דאך נישט קיין 'ביג דיעל' כנ"ל, וממילא עפנט ער מיר דעם פייל.
כ'האף אז ס'איז גענוג קלאר, כ'האב במכוון אויסגעלאזט אסאך פרטים.

---

הוגה האקט, האפנטליך זענען אייערע שאלות פארענטפערט. נאר איין הערה:

הוגה האט געשריבן:ווי שווער איז עס שוין צו ערפינדן א קאמפיוטער עס אויס צו רעכענען?

האט איר פארגעסן אז נומערן גייען ביז אין-סוף? ביז וויפיל זאל דער קאמפיוטער רעכענען?
בעניני number theory קען א קאמפיוטער מערסטענס צושטעלן א פירכא, נישט קיין ראי'. עכ"פ נישט אויף די פשוטע וועג פון רעכענען נומערן איינס נאכן צווייטן.

יעצט געלייענט שליח'ס הודעה. שטארקע קורת רוח געהאט און ס'מאכט זיך מיר שטארק בענקען צו אים. לאמיך אבער פרעגן עפעס און כהאף עמיצער אנדערש וועט זיך פרייען אויסצוקלארן.

ווען איך שיק מיין חבר דער ריזיגער סך הכול מיט וואס ער זאל פארשפארן די פייל וועט עס נאר ארבעטן אויב דער אינטעסעפטער'ס קאמפיוטער איז נאך צוריקגעבליבן פון מיינער און האט נאכנישט אויסגעפיגערט וועלכער פריים נומער וואס ווען צוזאם געשטעלט מיט דער אנדערער פריים נומער, וואס ליגט ביי מיר אין מחתרת, וועט מאכן די סך הכול. ריכטיג?
אין אנדערע ווערטער, די בעלים פון די אויבנדערמאנטע 100 קאמפיוטערס זענען אהעד אף די געים. (אויך נאר פאר א קורצע וויילע, אויב דער אינטערסעפטער=למשל דער קאמיוניקאציע קאמפאני, האט זיך אויך זיינע 100 קאמפיוטערס ארבעטנדיג אויף די זעלבע פראיעקט)

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

איך פארשטיי נישט פונקטליך וואס דו מיינסט צו פרעגן.

די נומער וואס ליגט ביי מיר אין מחתרת (עי קעי עי, די פרייוואט קי) דארף קיינער אויף די וועלט נישט וויסן.

דו קענסט אויסקלויבן א רענדאם נומער, אדער נוצן אזא פראגראם ווי putty צו רענדאמלי דזשענערעיטן די צוויי שליסלען.

אה, דאס האט נישט מער צוטוהן מיט די איווען נומער וואס איז געמאכט פון צוויי פריימס?!

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

שליח האט געשריבן:...אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים!...

לא זכיתי להבין. 8 איז נישט קיין פריים און צוטיילט זיך צו 4 וואס איז אויך נישט קיין פריים.

אבער סצעטיילט זיך אויך אין 3 און 5. ד.ה. אז ס'איז צאמגעשטעלט פון פריימס. אויך וועט זיך עס עווענטואל צעטיילן אין 2 וואס איז א פריים.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

טאמבל סאס האט געשריבן:יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

עס האט מער גארנישט צו טוהן מיט גאלדבאך׳ס השערה.

מ׳דארף נישט וויסן אלע פריים נומערן כדי צו דיקריפטן, און מ׳קען נישט וויסן אלע פריים נומערן (עס איז ענדלעס). מען דארף נישט מער ווי וויסן וואס זענען די צוויי פריים נומערן וואס בויען דעם ספעסיפיק נומער.

שלום על ישראל האט געשריבן:

שליח האט געשריבן:...אבער מיר ווייסן דאך אז יעדע נומער צוטיילט זיך אין פריימס אדער איז אליינס א פריים!...

לא זכיתי להבין. 8 איז נישט קיין פריים און צוטיילט זיך צו 4 וואס איז אויך נישט קיין פריים.

8 ווערט צוטיילט אין 2*2*2, עס מוז נישט אנקומען גלייך צום פריים, אבער עווענטעאל וועט ער אנקומען צו די פריימס. (דאס ווערן אנגערופן פאקטארן).

פארוואס? האט געשריבן:

טאמבל סאס האט געשריבן:יאיר האט געפרעגט וואסי פשט אז מ'קען נישט ברעכן די קאוד חוץ אויב מ'ווייסט אלע פריים נומערן. האט שליח מסביר געווען אז די געדאנק איז באזירט דערויף וואס ס'איז גאר שווער צו וויסן פון וועלכע צוויי פריים נומערן א גרויסער נומער איז צוזאמענגעשטעלט. אלזא שיקט מען דעם חבר דער טאטאל, יענער שליסט צו דער פייל, שיקט דיר עס און דיין קאמפיוטער ווארט דו זאלסט אריינלייגן דער פריים נומער וואס וועט איבערלאזן פאר אים דער אנדערער פריים נומער מיט וואס משליםא צו זיין די טאטל? און אזוי ווייסט ער מעג דיר גיבן עקסעס. דא בין איך בין נישט קלאר.

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

עס האט מער גארנישט צו טוהן מיט גאלדבאך׳ס השערה.

מ׳דארף נישט וויסן אלע פריים נומערן כדי צו דיקריפטן, און מ׳קען נישט וויסן אלע פריים נומערן (עס איז ענדלעס). מען דארף נישט מער ווי וויסן וואס זענען די צוויי פריים נומערן וואס בויען דעם ספעסיפיק נומער.

אבער אויב מיין קאמפיוטער ווייסט די צוויי נומערן וואס בויען די ספעסיפיק נומער קען דאך דער קאמיוניקאציע קאמפאני'ס קאמפיוטער אויך וויסן? אויב אזוי מה הועילו תקנת חכמים? דער ספעסיפיק נומער האב איך דאך געמאכט פובליק?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

דאס איז די חכמה דא, אז ווען דו האסט דו גרויסע נומער קענסטו נישט גרינג וויסן די פאקטארס.

לאמיר נעמען א פשוטע דוגמא דו נעמסט צוויי נומערן 13 און 59, ביידע זענען פריים נומערן. האבנדיג די צוויי נומערן קען א קאמפיוטער טוהן מאלטיפליקעישן (וואס איז זייער א גרינגע פונקציע פאר א קאמפיוטער צו טוהן) און ער שפייט אויס די גרויסע נומער וואס איז 767.

אויב געבסטו אבער דעם קאמפיוטער די גרויסע נומער 767 און דו בעטסט אים איינע אדער צוויי פון די פאקטארן, דאן האט ער זייער א שווערע עבודה. ער וועט דארפן ארומזוכן אלע מעגליכע נומערן. וואס קען נעמען שעות און צומאל יאהרן. (געוואנדן אין די גרויס פונעם נומער).

פארשטייט זיך אז ביי אונזער קליין נומער וועט ער עס שנעל טרעפן, אבער ווי גרעסער די נומערן ווערן, ווערט די עבודה שווערער.

עס איז פארהאן פונקטליכע טערמינען ווי אזוי צו מעסטן די שנעלקייט פון אן אלגאריטעם, אבער דאס איז שוין א לענגערע שמועס.

דאס הייסט אז דער גרויסער נומער קען באשטיין פון מערערע סעטס? מוז דאס דוקא זיין פריים נומערן?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

טאמבל סאס האט געשריבן:דאס הייסט אז דער גרויסער נומער קען באשטיין פון מערערע סעטס? מוז דאס דוקא זיין פריים נומערן?

Sent from my SM-G903F using Tapatalk

יעדע נומער קען האבן נאר איין מעגליכע סעט פון עטליכע פאקטארס, אויב אלע פאקטארס זענען פריים נומערן. למשל 24 באשטייט פון (2, 2, 2, 3).

בנידון דידן, געווענליך וועט מען נוצן צוויי גרויסע רענדאמלי פריים נומערן, און פון זיי בויען א גרויסע פאבליק שליסל. עס פעלט נישט אויס מער ווי צוויי.

אה, איך מיין איך האב באקומען אן עפיפעני. איך פארשטיי עס מיין איך. סאו איך בעט מיין קאמפיוטער ער זאל מיר אויסשפייען א הויכע נומער מיט אירע צוויי פריים קאמפאנענטס. איינס שיק איך דיר איבערן ים. יעצט דאס אז די קאמפאני זעט איין קאמפאנענט, העלפט זיי נישט קיין סאך. (אביסל אויך נישט.) ווייל צו דער פריים נומער קען אטעטשד ווערן א נומבער פון פריים נומערן צו פארמירן א נומבער פון טאטלען (TOTALS). אבער דער ספעציפישער שליסל איז דאך נאר איינע פון די אלע טאטלען וואס איך האב מיט מיין קאמפיוטער שוין פריער אפגערעדט. אלזא ווען די קאמיוניקאציע קאמפאני גיבט די קאמפיוטער נאר איין קאמפאנענט, זאגט די קאמפיוטער, אבוויעסלי ווייסטו נישט וואס די טאטאל איז, זאג איך דיר נישט אויס. אבער ווען דו שיקסט מיר די פייל פארשלאסן, און איך וויל עס עפענען, לייג איך אריין דעם צווייטן פריים קאמפאנענט און קליק-קלאק: דער קאמפיוטער דערקענט דער צווייטער פריים אלס פעלנדער חלק און שותף צו דער ערשטער - כדי מיט דעם צו פארענדיגן די אינישאל אפגעשמועסטער טאטאל - און מאכט פתיחת הארון. איא?

פארוואס? האט געשריבן:דאס איז די חכמה דא, אז ווען דו האסט דו גרויסע נומער קענסטו נישט גרינג וויסן די פאקטארס.

לאמיר נעמען א פשוטע דוגמא דו נעמסט צוויי נומערן 13 און 59, ביידע זענען פריים נומערן. האבנדיג די צוויי נומערן קען א קאמפיוטער טוהן מאלטיפליקעישן (וואס איז זייער א גרינגע פונקציע פאר א קאמפיוטער צו טוהן) און ער שפייט אויס די גרויסע נומער וואס איז 767.

אויב געבסטו אבער דעם קאמפיוטער די גרויסע נומער 767 און דו בעטסט אים איינע אדער צוויי פון די פאקטארן, דאן האט ער זייער א שווערע עבודה. ער וועט דארפן ארומזוכן אלע מעגליכע נומערן. וואס קען נעמען שעות און צומאל יאהרן. (געוואנדן אין די גרויס פונעם נומער).

פארשטייט זיך אז ביי אונזער קליין נומער וועט ער עס שנעל טרעפן, אבער ווי גרעסער די נומערן ווערן, ווערט די עבודה שווערער.

עס איז פארהאן פונקטליכע טערמינען ווי אזוי צו מעסטן די שנעלקייט פון אן אלגאריטעם, אבער דאס איז שוין א לענגערע שמועס.

אז מ׳רעדט שוין דערפון איז אינטרעסאנט אנצומערקן דעם P vs. NP פראבלעם. צו (אווער)סימפליפייען (אין גרויסן...), וואס מ׳וויל וויסן איז צו בעצם יעדע פראבלעם וואס מ׳קען גרינג מברר זיין לאחר זה וואס מ׳האט שוין אלע information [צוריקצווועגס], אזוי ווי ביי אונזער נושא פון די פריים פאקטארן פון א (גרויסע) נומער ווען מ׳האט שוין אלע דריי נומערן [אן NP פראבלעם], איז בעצם פונקט אזוי ווי [=] א געהעריגע פראבלעם [א P פראבלעם] וואס אויב מ׳האט די ספעציפישע אלגאריטם/סטראטעגיע דאס צו לייזן קען מען בעצם לייזן יעדע סארט פון אזא פראבלעם אפילו פאר מ׳ווייסט דעם ענטפער [גראד]. אויב איז P=NP (וואס רוב מאטעמאטיקער גלייבן אז נישט) דעמאלטס, אין אונזער נידון, איז בעצם דא א וועג [אלגאריטם/סטראטעגיע] ווי אזוי געוואר צו ווערן די פריים פאקטארן פון יעדע נומער (נישט קיין חילוק ווי גרויס) אן דארפן אדורכגיין נומערן איינס נאך איינס וכו׳; אונז ווייסן נאר עס פשוט נאך נישט.

דאס אות P מיינט Polynomial time און האט צוטוהן מיט וואס פארוואס? האט דערמאנט ווי אזוי מ׳מעסט די שנעלקייט פון אן אלגאריטם.

(איך פארשטיי אז די גאנצע שמועס איז פיל פיל מער קאמפליצירט ווי איך האב עס אראפגעלייגט.)

דאס איז איינע פון די 7 (היינט שוין 6) נישט געלייזטע מאטעמאטיק פראבלעמען וואס די קלעי אינסטיטוט ׳עט געבן $1,000,000 צו דער וואס לייזט [פרופט] עס [P=NP אדער נישט].

מ׳האט שוין אפאר מאל געשמועסט דא אין שטיבל וועגן פאסקאל׳ס געוועט. אין די שמועס פון פריים נומערן, פאר אינטרעסאנטקייט, קען מען צושטעלן איינע פון די תוצאות וואס מען קען ארויסנעמען פון די נומער טרייענגעל וואס ווערט ביי אונז אויך נקרא על שמו; פאסקאל׳ס טרייענגעל.

דעם טרייענגעל זעהט אויס אזוי:


דאס ארבייט אז ביי יעדע זייט לייגט מען די נומער 1 און דערנאך יעדע נומער אין די שורה איז די סומע פון די צוויי נומערן העכער עס [פון די שורה העכער עס], און אזוי קען מען בויען די טרייענגעל ווייטער און גרעסער ענדלאז. איינע פון די אינטרעסאנטע זאכן וואס קומען ארויס פון די נומער טרייענגעל איז אז אויב די שורה הויבט זיך אן מיט א פריים נומער, למשל 7 אדער 11 (מ׳קוקט נישט אויף די 1 אויף די זייטן), וועלן אלע נומערן אין יענע שורה (חוץ די 1 ביי די זייטן) זיין מאלטיפלס דערפון [מ׳וועט זיי קענען דיוויידען ביי יענע פריים אן א רימעינדאר].

ס׳דא נאך אינטרעסאנטע זאכן מיט די טרייענגעל.
m https://www.livescience.com/42116-the-1 ... stmas.html m

אז מ׳רעדט פון נומער טרייענגעלס.

אז מ׳האט דערמאנט גאלדבאך׳ס קאָנדזשעקשור בתוך פּריים נומערן איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען נאך דריי פראבלעמען אינעם געביט פון פּריים נומערן וואס דער אידישער מאטעמאטיקער דר. עדמונד לאנדא האט געשטעלט אין 1912, וואס אלע זענען נאך דערווייל נישט אויפגעוואוזן לכאן או לכאן.

1). די פריער-דערמאנטע גאלדבאך קאָנדזשעקשור. הגם עס איז נאכנישט דא דערויף קיין תשובה/פּרוּף, איז דא דערויף דעם (ערשטן חלק פונעם) טשען טעארעם. דאס איז א פּרוּף פונעם כינעזער מאטעמאטיקער דר. טשען דזשינגרון וואס לויטעט אז יעדע גרויסע איִווען נומער קען זיכער אדער צאמגעשטעלט ווערן אלס׳ן סומע פון צוויי פּריימס אדער (עכ״פ) פון א פּריים און א סעמי-פּריים [א נומער וואס איז טאקע נישט קיין פּריים אבער צאמגעשטעלט פון א פּראדוקט פון צוויי פּריימס]. דאס זאגט אויך אז יעדעס איִווען נומער איז די חילוק צווישן א פּריים און א סעמי-פּריים. דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער דר. אָליוויער ראמארעי האט אויפגעוואוזן אז יעדעס איִווען נומער איז זיכער נישט מער ווי צאמגעשטעלט פון 6 פּריימס.

אגב, גאלדבאך אליין האט געהאט געזאגט אז יעדע נומער גרעסער פון 5 איז די צאל פון צום מערסטענסט דריי פּריימס; זיין ״שוואכע״ קאָנדזשעקשור. און דאס האבן די מאטעמאטיקער דר. איוואן מאטוועיעוויטש ווינאגראדאוו און דר. האראלד העלפגאט געפּרוּווט; דאס ווייזט אבער נישט אויף די אויבן-דערמאנטע פארמולאציע פונעם (״שטארקע״) קאָנדזשעקשור. דער בארימטער מאטעמאטיקער לעאנהערד אוילער האט אים געזאגט אז ס׳איז (כעין) די זעלבע ווי זאגן אז יעדע איִווען נומער (גרעסער ווי צוויי) איז די סומע פון צוויי פּריימס; אויב דאס [די ״שטארקע״] ווערט אויפגעוואוזן ווערט די ״שוואכע״ אטאמאטיש אויך אויפגעוואוזן. דער פוילישער מאטעמאטיקער דר. אנדרעזש שניזעל האט געוואוזן אז די קאָנדזשעקשור איז די זעלבע ווי זאגן אז יעדע פּריים מער ווי 17 איז די סומע פון נישט מער ווי דריי אנדערע פּריימס.

2). די צווילינג פּריים קאָנדזשעקשור. א צווילינג פּריים איז אזא סארט פּריים וואס צווישן די פּריים מיט׳ן נעקסטן/פריערדיגן פּריים איז נאר דא א חילוק פון צוויי (כמו צווישן די צוויי פּריים נומערן פון 41 און 43). אגב, אויב איז די חילוק צווישן די פּריימס פיהר הייסט דאס א קאזין פּריים און אויב איז די חילוק צווישן זיי זעקס הייסט דאס א סעקסי פּריים... די קאָנדזשעקשור וויל אויפטוהן אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריים נומערן.

(עס איז דא א ברייטערע קאָנדזשעקשור אין דעם וואס רופט זיך די פּאליגנאק קאָנדזשעקשור וואס וויל זאגן אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון פּריים נומערן וואס די חילוק צווישן זיי איז עני איִווען נומער וואס דו וועסט אנכאפן. דער כינעזער-אמעריקאנער מאטעמאטיקער דר. יִטאַנג זיאַנג האט געפּרוּווט אז עס איז זיכער דא איין אזא איִווען נומער ביז 246 וואס עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון פּריימס וואס די חילוק ביניהם איז די איִווען נומער.)

דער מאטעמאטיקער דר. וויגאָ בּרוּן האט אויפגעוואוזן אז אויב גייט מען נעמען די רעסיפּראקעל (עיין כאן וכאן) פון יעדע צווילינג פּריים און גאס אלס צאמעדדן וועט דאס אנקומען צו א ספעציפישע נומער, גערופן דעם בּרוּן קאנסטענט [1.9021605...].

פון די (צווייטע חלק פון די) אויבן-דערמאנטע טשען טעארעם קומט אויס אז עס זענען זיכער דא אן אינפיניט צאל פון נומערן וואס אויב איז איינס פּריים איז די נאך-די-נעקסטע [א חילוק פון צוויי] א פּריים אדער עכ״פ א סעמי-פּריים.

‏3). לעדזשענדרע׳ס קאָנדזשעקשור. דאס איז א קאָנדזשעקשור פונעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער עידריען-מערי לעדזשענדרע וואס וויל זאגן אז אויב מ׳נעמט די סקווער פון איין נומער [יענע נומער מאל יענע זעלבע נומער] און די סקווער פון די נומער גראד נאכדעם, וועט אלס זיין א פּריים צווישן די צוויי סקווערס.

(דאס ווייסט מען אז די חילוק צווישן צוויי פּריימס איז נישט מער ווי צוויי מאל די סקווער רוט פון די פּריים וואס מ׳האט.)

4). דאס פרעגט אויב עס איז דא אן אינפיניט צאל פון סארטן פּריימס וואס די נומער פאר די פּריים איז א פּערפעקט סקווער [למשל, 25 איז א פּערפעקט סקווער, ווייל איר סקווער רוט איז א פונקטליכע נומער 5, ועיין באשכול זו]?

***



דאס איז אולאם׳ס ספּיירעל. דאס ארבעט אז מען שרייבט אלע נומערן אין א(ן עקעדיגע) ספּיירעל. דערנאך נעמט מען ארויס אלע נומערן וואס זענען נישט קיין פּריימס [די פינטעלעך זענען די איבערגעבליבענע פּריימס]. מ׳קען דערין זעהן געוויסע פּעטערנס.

א גלאז וואסער האט עמיצער?

ישעיה האט געשריבן:א גלאז וואסער האט עמיצער?

״פּראַיים״ מיט׳ן כולל בגימטריא ״מים רבים״...

***


דאס איז די קלויבּער טרייענגעל. ס׳איז ענליך צום אולאם ספּיירעל נאר עס שטעלט אויס די נומערן אין א טרייענגעל [1 און אונטער דעם 2,3,4 אא״וו], און דערנאך לאזט מען נאר איבער די פּריימס.

ענליך צו דעם אלעם איז דאס די סעקס ספּיירעל. דאס איז אן ארכימידיען ספּיירעל [וואו די ווייטקייט פון איין רינג צום אנדערן איז די זעלבע, ועיין כאן] וואס יעדע דריי איז צו א פּערפעקט סקווער (2,4,9,16 אא״וו; אזוי ווי מ׳האט מסביר געווען פריער), און אינדערמיט זענען די אנדערע נומערס אייניג אויסגעשפרייט. דערנאך לאזט מען נאר איבער די פּריימס (אלס פּינטעלעך). אין דעם זעהט מען אויך פּאטערנס.

***

עס איז אינטרעסאנט צו וויסן אז עס איז דא א סארט פּריים נומער וואס רופט זיך א מערסען פּריים. דאס איז א סארט פּריים וואס איך נעם 2 און איך גיב דאס עפעס אן עקספּאנענט, און די נומער וואס איז איינס פאר די צאל איז די פּריים. למשל 2² איז 4 און איינס פאר דעם, 3, איז א פּריים. אזוי אויך, למשל, 2⁵ איז 32 און איינס פאר דעם, 31, איז א פּריים.

די גרעסטע ספעציפישע פּריים וואס מ׳ווייסט (ווייל כנ״ל בהאשכול איז דא אן אינפיניט צאל פון פּריים נומערן) איז א מערסען פּריים. עס איז איינס פאר די נומער פון 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ (די נעקסטע זיבן גרעסטע וואס מ׳ווייסט זענען אויך מערסען פּריימס).

בנוגע מערסען פּריימס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם געדאנק פון א פּערפעקט נומער. דאס איז א סארט נומער וואס אויב רעכען איך צאם די סומע פון אלע נומערן וואס קענען דאס דיוויידען אן א רימעינדאר (אן רעכענען דעם עצם נומער אליין), וועל איך צוריק אנקומען צו אט דעם נומער. למשל, 28 קען ווערן דיוויידעד אן א רימעינדאר דורך 1, 2, 4, 7, און 14. אז איך רעכען זיי אלע צאם קומט עס אויס צו 28.

יעצט, דער גרויסער מאטעמאטיקער לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז אלע איִווען פּערפעקטע נומערן גייען זיין אזעלכע סארט וואס ווען איך נעם א מערסען פּריים און איך מאלטיפּליי עס ביי די נומער וואס איז איינס מער פון איר און נאכדעם צוטייל איך דאס אין האלב, נאר אזא נומער קען זיין אן איִווען פּערפעקט נומער.

מען ווייסט נאך נישט צו עס איז דא אן אינפיניט צאל פון די סארט נומערן, ווי אויך ווייסט מען נאך נישט צו עס איז בכלל דא אן אַדד פּערפעקט נומער (מ׳איז נוטה אויף נישט).

ענליך צו פּערפעקטע נומערן זענען דא די עמיקעבּל נומערן. דאס זענען א פאר פון צוויי נומערן וואס די סומע פון די דיווייזארס פון איינע [די נומערן וואס מען קען איר דיוויידען ביי אן באקומען א רימעינדאר וכנ״ל] איז עולה די אנדערע, וכן להיפך. למשל, די קלענסטע אזא פּאָר איז 220 און 284. די דיווייזארס פון 220 זענען 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, און 110 וואס צוזאמען איז זייער סומע 284. און די דיווייזארס פון 284 זענען 1, 2, 4, 71, און 142 וואס צוזאמען זענען זיי 220. ווי ווייט מען ווייסט וועט ביי אזא פּאָר אדער ביידע נומערן זיין איִווען אדער ביידע אַדד. מען ווייסט אויך נאך נישט צו עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון עמיקעבּל נומערן.

טאמער איז די גרופע מער [למשל די סומע פון איינס איז די אנדערע, וואס די סומע פון יענע אנדערע איז צו א דריטע און נאכדעם ערשט איז עס חוזר חלילה (הגם אזא פּאָר פון דריי האט מען נאך נישט געטראפן; 4 יא)], דעמאלטס ווערט עס גערופן סאָשׁעבּל נומערן.

די סיקווענס (צו איינס ביי פּערפעקטע נומערן, צו צוויי ביי עמיקעבּל נומערן, צו מער ביי סאָשׁעבּל נומערן וכו׳) ווערט אנגערופן אן עליקאַט סיִקווענס. דער מאטעמאטיקער יוּדזשיִן-טשארלס קאטאלאן האט געקלערט אז יעדע עליקאַט סיִקווענס וועט זיך צום סוף ענדיגן מיט א פּריים, אדער 1 [וואס האבן נישט קיין דיווייזארס], אדער א פּערפעקטע נומער [וואס איז אליינס די סומע פון אירע דיווייזארס], אדער א פּאָר פון עמיקעבּל נומערן. עס איז נאך נישט אויפגעוואוזן געווארן.

***

אין דעם שמועס איז אויך אינטרעסאנט צו דערמאנען פערמאט׳ס קליינע טעארעם (לעומת זיין לעצטע טעאריע, באשריבן דא). דאס לויטעט אז יעדע פּריים, אויב מאך איך דאס די עקספּאָנענט פון עפעס א נומער, און דערנאך נעם איך אראפ פון דעם נומער וואס ס׳קומט אויס דעם נומער וואס איך האב אנגעהויבן מיט [דעם בּעיס], וועט די פּריים וואס איך האב גענוצט פאר׳ן עקספּאָנענט זיין א מאָלטיפּל דערפון [מיינענדיג איך וועל עס קענען דיוויידן ביי די פּריים אן קיין רימעינדאר].

לויט דעם טעארעם קומט אויך אויס (טאמער די בּעיס איז נישט קיין מאלטיפל פונעם פּריים) אז טאמער געב איך אן עקספּאָנענט צום בּעיס מיט איינס ווייניגער פון א געוויסע פּריים, וועט דערנאך אז איך נעם די נומער פון איינס ווייניגער ווי די נומער וואס ס׳גייט אויסקומען נאכ׳ן מאכן די עקספּאָנענשיעישאן, זיין א מאלטיפל פון די פּריים.

דאס קען גענוצט ווערן פאר א פּריימעליטי טעסט. דהיינו, אויב טוה איך דאס מיט א געוואוסע נומער אלס א פּריים (לגבי די עקספּאָנענט) און די ענדגילטיגע ענטפער איז נישט א מאלטיפל פונעם נומער וואס איך האב אנגענומען אלס פּריים, ווייס איך אז דאס איז זיכער נישט א פּריים.

***

אויך איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דערין בּערטראנד׳ס פּאַסטוּלעיט. דאס לויטעט אז פאר יעדע נומער גרעסער ווי 3, אויב איך קוק אויף צוויי ווייניגער ווי צוויי מאל די נומער, וועט אלס זיין צום ווייניגסטנס איין פּריים צווישן די נומער מיט וואס איך האב אנגעהויבן אין די נומער וואס איך בין צוגעקומען דערצו נאכ׳ן מאכן צוויי מאל וכו׳ כנ״ל. ווי אויך, סתם אזוי, אז פאר יעדע נומער, צווישן די נומער און דאפעלט די נומער איז זיכער דא כאטש איין פּריים.

***

אויך איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען דעם ווילסאן טעארעם. דאס לויטעט אז א נומער קען נאר זיין א פּריים נומער אויב ווען איך מאלטיפּליי אלע (פּאזיטיווע/געהעריגע) נומערן אונטער דעם און איך לייג צו איינס, וועט דאס קענען ווערן דיוויידעד דורך די פּריים נומער אן קיין רימעינדאר.

מי אני האט געשריבן:‏3). לעדזשענדרע׳ס קאָנדזשעקשור. דאס איז א קאָנדזשעקשור פונעם פראנצויזישן מאטעמאטיקער עידריען-מערי לעדזשענדרע וואס וויל זאגן אז אויב מ׳נעמט די סקווער פון איין נומער [יענע נומער מאל יענע זעלבע נומער] און די סקווער פון די נומער גראד נאכדעם, וועט אלס זיין א פּריים צווישן די צוויי סקווערס.

(דאס ווייסט מען אז די חילוק צווישן צוויי פּריימס איז נישט מער ווי צוויי מאל די סקווער רוט פון די פּריים וואס מ׳האט.

ענליך צו דעם איז דא בּראָכאַרד׳ס קאָנדזשעקשור. דאס האלט אז צווישן איין פּריים נומער ווען איך סקווער עס און די נעקסטע פּריים נומער וואס קומט נאך דעם און איך סקווער דאס אויך, וועלן זיין צווישן זיי פיר פּריימס [צווישן די צאלן וואס איך האב נאכ׳ן זיי ביידע סקווערן]. מ׳חשבונ׳ט(...) אז דאס איז אמת, אבער עס איז נאך נישט אויפגעוואוזן.

***

און ענליך אביסל צו גאלדבאך׳ס קאנדזשעקטשור און טשען׳ס טעארעם איז דא לעמוֺין׳ס קאנדזשעקטשור. דאס האלט אז יעדע אַדד נומער גרעסער ווי 5 קען ווערן צאמגעשטעלט ווי די סומע פון אן אַדד פּריים און אן איִווען סעמי-פּריים [א נומער וואס איך באקום נאכ׳ן מאלטיפלייען צוויי פּריימס כנ״ל בהאשכול].

ענליך צו דעם האט דער כינעזער מאטעמאטיקער סאָן זשיוועי קאנדזשעקטשורד אז יעדע אַדד נומער גרעסער ווי 3 קען ווערן צאמגעשטעלט דורכ׳ן מאלטיפלייען א נומער מיט די נומער נאכדעם [א פּראַניק נומער] און דערנאך דאס עדדן מיט א פּריים.

מ׳האט זיי נאכנישט אויפגעוואוזן.

***

אויך אינטרעסאנט אין דעם איז אָפּערמאן׳ס קאָנדזשעקטשור. דאס האלט אז צווישן יעדע פּאָר פון א סקווער נומער [א נומער וואס איז די פּערפעקט סקווער פון א גאנצע נומער מאָלטיפּלייד ביי זיך אליין] און די נענסטע פּראַניק נומער [א נומער וואס ווערט צאמגעשטעלט דורך די מאָלטיפּליקעישאן פון א נומער מיט די נומער גראד נאך איר כנ״ל] וועט זיין צום ווייניגסט׳נסט איין פּריים.

***

אינעם שמועס פון פּערפעקטע נומערן איז אויך דא עבּאָנדענט נומערן. דאס איז ווען די סומע צוזאמען פון אלע דיווייזארס פון א נומער [נומערן וואס מען קען דיוויידן די נומער אן א רימעינדאר כנ״ל] זענען מער ווי די נומער אליין. למשל, די דיווייזארס פון 12 זענען 1,2,3,4, און 6 וואס צוזאמען זענען זיי 16.

אין דעם זענען דא נומערן וואס מ׳רופט סעמי-פּערפעקט. דאס איז ווען צוזאמען זענען טאקע אלע דיווייזארס מער ווי די עצם נומער, אבער א חלק פון זיי צוזאמען זענען יא די סומע פונעם עצם נומער. אונזער פריערדיגע משל פון 12 איז סעמי-פּערפעקט, וויבאלד אויב נעמט מען נאר אלע דיווייזארס אחוץ 4 קומט עס יא אויס צו 12.

אין דעם אליין זענען דא מאדנע נומערן. דאס זענען עבּאָנדענט נומערן וואס זענען נישט סעמי-פּערפעקט. 70 איז די קלענסטע אזא נומער. אירע דיווייזארס זענען 1, 2, 5, 7, 10, 14, און 35 וואס צוזאמען זענען זיי 74, אבער קיין איין סעט פון אירע נומערן צוזאמען וועלען נישט אנקומען צו 70.

מ׳ווייסט נישט אויב עס איז דא אזא זאך ווי אן אַדד מאדנע נומער. די קלענסטע אַדד עבּאָנדענט נומער איז 945.

ס׳איז אויך דא אזא קאנצעפט ווי א קוואַסי-פּערפעקט נומער. דאס איז א פּערפעקט נומער ווי איך דארף נישט נוצן די נומער 1 (ווי אויך נישט די עצם נומער, וואס איך נוץ אויך נישט ביי סתם אזוי פּערפעקטע נומערן) פון אירע דיווייזארס אויף אנצוקומען צום עצם נומער. מ׳ווייסט נישט צו אזא נומער עקזיסטירט.

ובענין זה איז אויך דא די עבּאָנדענסי אינדעקס. דאס איז ווען איך רעכען אויך אלס א דיווייזאר די עצם נומער, און דערנאך רעכען איך צאם די אלע דיווייזארס און איך דיווייד דאס ביי די עצם נומער.

יעצט, צוויי אדער מער עבּאָנדענט אדער אפילו פּערפעקט נומערן וואס זייערע (אלע) דיווייזארס צוזאמען זענען די זעלבע גרעסער פראפארציאנאל ווי זייערע עצם נומערן ווערן גערופן פריינטליכע נומערן. דאס הייסט טאמער ווען איך דיווייד יעדע פון די עבּאָנדענט אדער, אין אונזער פאל, אפילו פּערפעקטע נומערן׳ס גרעסערע צאל וואס איך האב באקומען פון די סומע פון (אלע) אירע דיווייזארס ביי זייער עצם נומער פון וואו זיי קומען, און איך קום ביי יעדעס איינס אן צום זעלבן נומער [די עבּאָנדענסי אינדעקס], זענען זיי פריינטליכע נומערן.

למשל, 6 איז א פּערפעקטע נומער כנ״ל און (אלע) אירע דיווייזארס 1,2,3 און 6 זענען 12. ווען איך דיווייד דאס ביי 6 קום איך אן צו אן עבּאָנדענסי אינדעקס פון 2. יעדע פּערפעקטע נומער האט אזא עבּאָנדענסי אינדעקס (ווייל ביי יעדע לייג איך דאך צו דעם עצם נומער אלס דיווייזאר, וואס בנוסף צום עצם דיווייזארס וואס קומען שוין ממילא אויס צום עצם נומער, גייט עס דאך אויסקומען צו דאפעלט, וממילא גייען זיי אלעמאל אנקומען צו אן עבּאָנדענסי אינדעקס פון 2), וממילא זענען אלע פּערפעקטע נומערן אויך פריינטליך.

טאמער האט עס נישט אזא אייניגע ״חבר״ ווערט עס אנגערופן א סאליטערי נומער.

אין דעם געדאנק פון עמיקעבּל נומערן איז דא בּעטרוֺידט/קוואסי-עמיקעבּל נומערן. דאס זענען אזוי ווי א סעט פון צוויי עמיקעבּל נומערן אבער אנשטאט פון די סומע פון די דיווייזארס זאלן זיין איינע די אנדערע, איז די סומע פון איין נומער׳ס דיווייזארס איינס מער ווי די אנדערע עצם נומער.

למשל, 48 און 75 זענען אזא סארט פּאָר פון בּעטרוֺידט/קוואסי-עמיקעבּל נומערן. די דיווייזארס פון 48 זענען 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, און 24. צוזאמען זענען זיי 76; איינס מער פון 75. און די דיווייזארס פון 75 זענען 1, 3, 5, 15, און 25 וואס זייער צאל צוזאמען איז 49; איינס מער פון 48.

אלע אזעלכע סעטס וואס מ׳ווייסט פון זענען איינס אן איִווען נומער און די אנדערע אַדד.

***

בנוגע איִווען נומערן און צווילינג פּריימס איז דא דוּבּנער׳ס קאנדזשעקטשור וואס לויטעט אז יעדע איִווען נומער וואס איז גרעסער ווי 4208 איז די סומע פון צוויי צווילינג פּריימס. עס איז נאכנישט אויפגעוואוזן געווארן.

אויב ווייזט מען דאס אויף ווייזט מען אטאמאטיש אויף סיי גאלדבאך׳ס קאנדזשעקטשור [ווייל אלע איִווען נומערן ביז אהין ווייסן מיר אז ס׳זענען צאמגעשטעלט פון צוויי (סתם) פּריימס] און סיי די צווילינג פּריימס קאנדזשעקטשור [ווייל אויב איז דאס אויפגעוואוזן פאר אלע איִווען נומערן וואס זענען אינפיניט, זענען דאך די צווילינג פּריימס אויך אינפיניט].

***

ובנוגע די אויבן-דערמאנטע ווילסאן טעארעם איז דא א ווילסאן פּריים. דאס איז זייער ענליך צום טעארעם (וואס איז אויפגעוואוזן) נאר עס איז א סארט פּריים וואס ווען איך סקווער עס וועט עס קענען דיוויידען אלע נומערן אונטער זיך נאכדעם וואס איך האב זיי אלע מאָלטיפּלייד צוזאמען און צוגעלייגט איינס. ביזדערווייל ווייסט מען נאר פון 3 אזעלכע פּריימס [5, 13, און 563]. מ׳קלערט אז עס זענען דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס.

***

ענליך צו פערמאט׳ס קליינע טעארעם איז דא א סארט פּריים וואס רופט זיך א וויפעריך פּריים. דאס איז אזא סארט פּריים וואס די פּריים סקווערד וועט קענען דיוויידן (אן א רימעינדאר) די נומער וואס איך באקום ווען 2 האט אלס אן עקספּאנענט איינס ווייניגער ווי די פּריים און נאכ׳ן טוהן די עקספּאָנענשיעישאן דערנאך אראפנעמען 1 דערפון. ביזדערווייל ווייסט מען נאר פון צוויי אזעלכע פּריימס: 1093 און 3511.

***

אביסל ענליך צו צווילינג פּריימס זענען סאָפי דזשערמעין פּריימס. דאס זענען פּריים נומערן וואס ווען איך דאפּל זיי און גיב צו איינס איז יענע נומער אויך א פּריים. מ׳ווייסט אויך נישט צו ס׳דא אן אינפיניט צאל פון די סארט פּריימס.