האא! ממש א מחיה! ווער האט דען געגלויבט אז באחרית הימים, וועלן טיפע מאטעמאטישע געדאנקען ווערן אזוי שיין איבער געשמועסט איבער א הייסע גלעזל קאווע.
כאטש איך בין א ביסל שפעט, (און די קאווע איז שוין לאנג קאלט געווארן), פיהל איך פאר וויכטיג צו מעיר זיין עטליכע הערות.
ובזה החלי, אונזער שליח האט מסביר געווען בטוב טעם ודעת, דאס אז עס זענען פארהאנען פארשידענע שטארקייטן פון ענדלאזע סעטן (גרופעס, קאלעקציעס), דאס איז אלף-אפס און אלף-איינס, און אזוי ווייטער.
דהיינו, כאטש פון די ערשטע בליק זעהט אויס אז איינמאל א געוויסע סעט, איז ענדלאז, דעמאלטס איז שוין נישט שייך צו מעסטן אויב ער איז גרעסער אדער (שטערקער, עכ״פ אנדערש) פון אנדערע ענדלאזע סעטן. למעשה, איז אבער נישט אזוי, און אזוי ווי ער האט אויפגעוויזן, (און ווי אנדערע האבן מרמז געווען ווערט עס שיין ערקלערט דורך היילבערט׳ס האטעל).
אבער איין טעות וואס אונזער שליח האט געטוהן, צוויי מאהל, און די אנדערע דערנאך זענען געגאנגען אין זיינע פוס טריט, וואס כאטש מאנכע וועלן אפשר זאגן, אז עס איז א קלייניגקייט, אבער ווען ס׳קומט צו מאטעמאטיק, ווייס איך, אז ״כמעט״ ריכטיג איז ״נישט״ ריכטיג.
איז אזוי, ער האט פארלאזט אויסצורעכענען איין וויכטיגע סארט סעט פון נומערן, וואס דאס האט שפעטער גורם געוועזן טעותים, דאס איז די סעט פון די ״ראציאנאלע נומערן״.
און איך וועל פראבירן צו ערקלערן, עס זענען דא פארשידענע סעטס פון נומערן, אנגעהויבן ביי די ערשטע סעט וואס יעדער ווייס, איז די ״נאטורליכע״ נומערן, וואס הייבט זיך אן ביי איינס, צוויי, דריי, ביז ∞.
דערנאך איז דא די סעט פון די ״גאנצע״ נומערן, וואס דאס נעמט אריין אין זיך אויך 0, און אלע נעגעטיווע נומערן, (און צוגאב צו די נאטורליכע נומערן), ביז ∞-, (דאס איז מיינוס אינסוף), וואס ווערט אזוי געשריבן:
{-∞,...,-3,-2,-1,0,1,2,3…,∞}
דערנאך איז דא די ״ראציאנאלע״ נומערן, וואס דאס רעכנט אויך אריין נישט-גאנצע נומערן, אזוי ווי א האלבע, א פערטל, און אזוי ווייטער, (יעדע נומער וואס קען ווערן אראפגעשריבן אלס א פרעקשן פון צוויי נומערן).
דערנאך זענען די real numbers, וואס דאס רעכנט אויך אריין, די אלע נומערן וועלכע קענען ״נישט״ ווערן אראפגעשריבן אלס א פרעקשן פון צוויי אנדערע נומערן, און קורצן ״אומ-ראציאנאלע נומערן״, ווי למשל די סקווער רוט פון 2 (וואס דערויף איז דא אן עקסטרע אינטרעסאנטע proof אז ער קען נישט ווערן בשום אופן אראפגעשריבן אלס א פראקשן), און אזוי אויך π (א שמועס פאר זיך…).
און דערנאך זענען דא די קאמפלעקס נומערן, וואס איך מיין אז עס איז נישט נוגע לענייננו.
און דא וויל איך מדגיש זיין אז איך קריג זיך קלאר מיט הרב שליח, און די דוגמא וואס ער ברענגט ״א דריטל פון צעהן״ נוצט נישט פאר א גוטע דוגמא, פאר real numbers, ווייל א דריטל פון צעהן איז לכל הדעות א ראציאנאלע נומער.
איך פארשטיי, אז ער קען ענטפערן, אז ווען מען זאגט ״real numbers" מיינט מען אויך אריינצורעכענען די ראציאנאלע און גאנצע נומערן, און נישט דוקא די אומ-ראציאנאלע נומערן, נאר דעמאלטס וואלט דער שליח פונקט אזוי געקענט נוצן 1 אדער 1.4 פאר א דוגמא פון א real number, אלא מאי? ער זוכט א אומ-ראציאנאלע נומער. (כדי צו פארשטיין געבן וואס איז ״ניתוסף״ געווארן מיט די ריעל נומבערס סעט מער ווי די פריערדיגע סעטס), איז פאר דעם זאג איך: לא! מיט א ״אלף״. א דריטל פון צעהן וואס קען ווערן אראפגעשריבן אזוי: 10/3. איז אויסדריקליך נישט קיין אומ-ראציאנאלע נומער.
און דאס וואס הרב שליח טענה׳ט אז ווייל עס דארף ווערן געשריבן אין אומצאליגע דעצימלס, איז עס נישט קיין ראציאנאלע נומער, דאס איז נישט קיין שום טענה. ווייל דער נאטור איז קיינעם נישט מחייב צו נוצן די דעצימל מעטאד. סא, שטעל זיך פאר ווען איך וועל נוצן א מעטאד פון נאר 9 דיגיטס, דעמאלטס וועט א ״דריטל״ קענען ווערן געשריבן זייער פשוט 0.3, נאר א פערטל וואלט גאר געהאט פראבלעמען. סא, דאס איז בכלל נישט קיין טענה. ווייל כל עוד די נומער קען ווערן געשריבן אלס א פראקשן, נישט קיין חילוק וועלכע נומער שטייט אויבן, און וועלכע אונטן, ווערט עס נאך אלס פאררעכנט צו זיין אלס א ראציאנאלע נומער. (די דעצימל מעטאד, איז א קורצע וועג צו שרייבן נומערן און פראקשנס פון צעהן, וד״ל). (און איך וועל צולייגן נאך, אז אין אמת׳ן אריין איז נישט קיין שום חילוק צווישן די דעצימל וועג פון שרייבן א דריטל און די וועג פון שרייבן א פיפטל, די איינציגסטע חילוק איז נאר אז מען פיהלט נישט פאר וויכטיג צו שרייבן די זערא׳ס. מ׳וואלט ווען געקענט שרייבן א פיפטל פון צעהן אזוי:
2.000000…
וד״ל).
און טאקע דערפאר, דער סעט פון די ראציאנאלע נומערן ווערט נאך אלס פאררעכנט צו זיין אלס א שטארקייט פון אלף-זערא (און כדי נישט צו אוסטוישן מיט די אלף זעירא פון אנפאנג ויקרא, שרייב איך ״אלף-אפס״).
איך מיין, אז כדי צו פארשטיין די חילוק פון אלף-אפס, און די גרעסערע שטארקייטן (אזוי ווי אלף-איינס, און ווייטער), קען מען עס זייער פשוט מסביר זיין, (און דאס איז וואס די היילבערט׳ס האטעל פראבירט ערקלערן) אזוי:
ווען איך האב אן ענדלאזע סעט, וואס יעדע אביעקט אינעם סעט קען ווערן איידענטיפייעט דורך א באגרעניצטע צאל פון נומערן, דאן איז עס אלף-אפס.
אבער, ווען איך האב אן ענדלאזע סעט, וואס יעדע אביעקט דארף נוצן אן ״ענדלאזע״ נומער כדי זיך צו איידענטיפייען, דאן איז עס שטערקער פון אלף-אפס. (וואס דאס איז די ריעל נומבערס סעט).
יעצט, לאמיר זעהן וואס טוהט זיך מיט די ראציאנאלע נומערן. קען יעדע אביעקט ווערן איידענטיפייעט ביי א צאל נומערן? זיכער יא! דורך די נומערן וואס שטייען אויבן און אונטן. למשל 1/2 קען ווערן איידענטיפייעט אלס 12, און אזוי ווייטער… בקיצור, מען דארף נישט ענדלאזע נומערן דערפאר. איז ממילא קען די סעט פון ראציאנאלע נומערן ווערן גערעכנט צו זיין די גרעסטע דוגמא פון א סעט וואס איז ענדלאז און איז נאך אלס אלף-אפס. און א שאד אז שליח האט עס נישט ארויס געברענגט. (ווייל דאס איז בעצם די זעלבע שטארקייט פון די נאטורליכע נומערן, כאטש וואס ס׳איז לכאורה אסאך גרעסער).
בדרך אגב, מ׳קען דערקענען ביים דעצימל מעטאד, אויב א נומער איז ראציאנאל אדער אומ-ראציאנאל, ווייל א נומער וואס איז ראציאנאל, אפילו אויב ער דארף נוצן ענדלאזע נומערן, אזוי ווי א דריטל, קען מען נאך אלץ קלאר וויסן וועלכע נומערן ער וועט ניצן עד אינסוף, ווי למשל ביים דריטל וועט מען וויסן אז ער גייט נוצן 3, (און דאס מיינען די דריי פינטלעך צו דענאטירן), און ביים זיבעטל וועט ער נוצן 142857 און אזוי ווייטער. משא״כ ביי אומ-ראציאנאלע נומערן אזוי ווי די סקווער רוט פון 2 (און פון יעדע פריים נומער), און π, קען מען נישט וויסן עד אינסוף, א סדר פון נומערן. (פאר די זעלבע סיבה וואס מען קען איהם נישט שרייבן אלס א יחס פון צוויי נומערן, ואין כאן המקום להאריך בזה).
יעצט, בנוגע אינסוף אינעם נאטור, עס הערשט א שטיקל צומישעניש דא. וויל איך קלאר מאכן, דאס איז זיכער אז אינסוף איז נישט א צאל, (ווייל דאס איז דאך די דעפינאציע פון אינסוף), אבער דאך עקזיסטירן אינעם נאטור אביעעקטן וועלכע מוזן ווערן ערקלערט מיטן מושג פון אינסוף, און כאטש קען זיין עס איז שווער צו ערקלערן אינסוף. (און איך מיין אז אינסוף קען יא ווערן שיין מוגדר), אבער עס עקזיסטירט יא אינעם נאטור.
אוואו? אין יעדע אביעקט!
יעדע אביעקט איז צאמגעשטעלט פון חלקים וואס קען ווערן צוטיילט (אויב נישט פיזיש, איז כאטש טעארעטיש), עד אינסוף, ודי בהערה זה.