דאס ריעמאן זעטאַ פאָנקשען און דאס ריעמאן היפאטעזיע

דר. פּאָל פרענקס שרייבט במשנתו של שלמה מיימון:

this criticism enabled a deeper validation of Maimonides: formal synthesis was exemplified by mathematical construction, in which the intellect, the formal activity, and the constructed object were one. Mathematics was the paradigm of infinite intelligibility, in which we accomplished something like creatio ex nihilo and were similar to God

די ענציקלאָפּעדיע בּריטאַניקא איז מסביר קאַנשׁעסנאס במשנתו של שלמה מיימון (עפ״י קאנט׳ס געדאנק פון נומענאן):

It was not till 1788 that he made the acquaintance of the Kantian philosophy, which was to form the basis of his lifework, and as early as 1790 he published the Versuch über die Transcendentalphilosophie, in which he formulates his objections to the system. He seizes upon the fundamental incompatibility of a consciousness which can apprehend, and yet is separated from, the “thing-in-itself.” That which is object of thought cannot be outside consciousness; just as in mathematics √-1 is an unreal quantity, so “things-in-themselves” are ex hypothesi outside consciousness, i.e. are unthinkable

דר סקאַט עראנסאן שרייבט:

As Jordan Ellenberg, a mathematician at the University of Wisconsin, wrote, a dirty secret in mathematics is that many unsolved problems have a similar flavour: they’re less about mysterious coincidences than about the lack of them

Take, for example, the Twin Primes Conjecture, which holds that there are infinitely many pairs of prime numbers separated by 2 (such as 3 and 5, or 11 and 13). Ellenberg explains that, for this conjecture to be true, there doesn’t need to be any mysterious ‘force’ pulling primes together; there just needs not to be a mysterious force pushing them apart. Or take the Riemann Hypothesis, which states that the infinitely many non-trivial roots of a certain complex function all lie on a single line. When it’s stated that way, the hypothesis does sound like a mystery. Why should infinitely many numbers all happen to line up like that?

The mystery lessens once you realise that each zero of this function encodes global information about the distribution of prime numbers – and a single zero off the line would represent infinitely many prime numbers clumping together in astronomically improbable-seeming ways. So, if you like, one mysterious pattern has to be there to prevent a second pattern that would be even more mysterious

ער שרייבט אז דאס איז בנוגע מאטעמאטיקס בכלליות: עס האט אַן אינטוּאיטיוו סענס (פאר דער וואס פארשטייט דאס) וואס דאס פאלגט נאך; עס איז נישט בעצם ״מיסטעריעז״. ועכ״כ אז בעצם האט מען זיך נישט צו שרעקן פאר גאָדעל׳ס טעארעמס וועלכע עפּלייען נאר זעלטן. און אט דאס איז א מיסטעריע וכידוע מדר. יוּדזשיִן וויגנער (לגבי מאטעמאטיק׳ס שטארקע קשר לפיזיקס).

אין מאטעמאטיקס איז דא צוויי געדאנקן פון א ״רעגולאר נומער״:

1). א נומער וואס קען דיוויידען 30 אדער 60 (די נומערן וואס קומען ארויס פון געבן עקספּאנענטס צו 30 אדער 60) אָן קיין רימעינדאר. והיינו, א נומער וואס אירע פּריים דיווייזארס פון וואס די נומער איז צאמגעשטעלט זענען נאר 2, 3, און 5.

2). א נומער וואס איך קען נישט צוקומען דערצו דורך צאמעדדן ווייניגער ווי די צאל פון די עצם נומער פון די נומערן אונטער דעם. למשל די נומער 1 איז א ״רעגולאר נומער״ ווייל מ׳קען נישט צוקומען צו 1 דורך איין 0 וואס איז אונטער דעם. ווי אויך איז 2 ״רעגולאר״ ווייל מ׳קען נישט צוקומען דערצו דורך צאמעדדן ווייניגער ווי 2 נומערן וואס זענען אונטער דעם. אין מעטאפיזיקס צייגט דאס אויף דאס שוועריקייט פון ווי אזוי קומט פון ״אַיִן״ [״0״] א ״יש״ [״1״]. ווי אויך אז ווי אזוי קומט פון אַן ״אחד הפשוט״ [״1] א ״ריבוי״ [״2״] (ועיין בעיקרים מאמר ב פי״א).

לייבניץ האט גע׳טענה׳ט אז פון גראַנדי׳ס סיריִס, אויב זאג איך אז דאס קאַנווערדזשד צו 1 אדער 1/2, דאן זעהט מען דאך ווי פון 0 ווערט 1 (אדער עכ״פ 1/2). מ׳קען דאך באטראכטן די סיריִס ווי (1-1)+(1-1)+(1-1) אא״וו, וואס באדייט דאך דאס זעלבע ווי 0+0+0 אא״וו [אַן אַיִן], און פונדעסטוועגן קומט דאס אָן צו א ״יש״.

דר. פּיִטער עטקינס זאגט אז בכלל קען מען דאך צוטיילן 0 אין צו פאזיטיוו 1 און נעגאטיוו 1; עס איז דאך 0=1-1. און 0 באדייט וואו עס איז נישטא קיין זמן בכלל. פאזיטיוו 1 גייט באדייטן וואו צייט גייט פאראויס און נעגאטיוו 1 גייט באדייטן וואו צייט גייט צוריקצווועגס (פון אונזער מבט). וממילא איז די ״יש מאין״ צושטאנד געקומען ווען די ״0״ האט זיך צוטיילט אין צו 1 און 1-, ווי אין איין יוּניווערס גייט צייט פאראויס און אין די אנדערע צוריקצווועגס. (דזשאַן אָפּדייק ברענגט דאס אויך צו.)

‏ ATUB @מתבודד ATUB האט געשריבן:

מתבודד האט געשריבן:דער בעל התניא פלעגט טאקע רופן די וועלט אַן ”אַיִן מִיֶשׁ” און נישט קיין יֶשׁ מִאַיִן, כידוע.

דאס שטימט יא מאטעמאטיש און לאגיש?...

אויב דעפינירט מען אַן ״אינווערס״-רעגולאר נומער אלס א נומער וואס מ'קען נישט צוקומען דערצו דורכ׳ן סאָבּטרעקטן כאטש אזויפיל נומערן ווי די נומער וואס זענען העכער/גרעסער ווי איר, דאן איז 0 נישט אזא סארט נומער ווייל מען קען יא: 3-2-1=0.

די ראמאנוזשאן טאַוּ פאָנקשען איז ווען איך נעם א נומער און איך געב דערצו אַן עקספּאָנענט פון 1. דערנאך, די נומער וואס איך באקום, וואס איז דאס זעלבע נומער, נעם איך דאס אוועק פון 1, און איך העכער וואס איך באקום צו אַן עקספּאָנענט פון 24. איך העכער דערנאך דעם אריגינעלן נומער צו אַן עקספּאָנענט פון 2 און איך טוה איבער דעם זעלבן שפיל הלאה והלאה העכערענדיג דעם עקספּאָנענט, און איך מאָלטיפּליי אט די גאנצע סיריִס צוזאמען. דערנאך מאָלטיפּליי איך וואס איך באקום ביים אריגינעלן נומער.

סרינוואסא ראמאנוזשאן האט קאָנדזשעקטשורד אז טאמער איז די נומער איך וועל אויס א פּריים, דאן וועט די פאָנקשען פאר דעם פּריים נישט זיין מער ווי אויב איך נעם די פּריים און געב עס אַן עקספּאָנענט פון 11 און דערנאך נעם איך די סקווער-רוּט פון וואס איך באקום, און איך מאָלטיפּליי דאס ביי 2. עפ״י מאטעמאטישע לומדות האט דאס א שייכות צום ריעמאן היפאטעזיע.

עס קומט אויך אויס אז טאמער געב איך נישט קיין וועליוּ פאר q און איך לאז עס, און אזוי טוה איך מאכן די מאָלטיפּליקעישאן (אזוי אז עס ווערט א פּאַלינאָמיעל), דאן גייען די פראדוקט פון די קאָעפישענטס, והיינו די נומערן, פון יעדעס טערמין צוזאמען זיין די קאָעפישענט פון די פראדוקט פון זייער טערמין פלאץ. מיינענדיג, למשל די קאָעפישענטס פון די צווייטע און דריטע פלאץ ווען איך מאָלטיפּליי זיי צוזאמען, וועט זיין די קאָעפישענט פון די זעקסטע פלאץ, וואס צוויי מאל דריי איז זעקס.

‏דא האט ATUB @הקטן ATUB געשריבן:

הקטן האט געשריבן:איך האלט, למשל, דאס אן אשכול בנוגע רימאן זעטא געט גארנישט צי צים פלאץ

אין די קאנטעקסט דארט איז עס צוגלייכן די דאזיגע אשכול איבער (הויכע) מאטעמאטיקס צו די parochial שאלה ״וועמענ׳ס רבי איז די גרעסטע?״ אדרבה קוקסט נאך. סתם אזוי וואלט איך עפּלייט דאס פּרינציפּ פון טשעריטי און געזאגט אז ער מיינט ענליך צו ATUB @הבל וריק ATUB ׳ס טענה פריער, אז דאס איז דאך שטארק חכמה און לאו כל מוחא סביל דא. אבער גיין זאגן ״דאס געבט גארנישט צו״ און שטעלן דעם שמועס דא אויף דעם זעלבן לעוועל פון זיך טענה׳ן ״וועמענ׳ס רבי איז גרעסער״, איז נישט קיין סימן אויף חכמה, מילד גערעדט, און דארף צו פארשעהמען די חברים דא. פונעם פּערספּעקטיוו פון א קינד און א סכל זענען זיי טאקע אייניג.

און אזוי ווי איך האב גע׳ענטפערט איז דאך אט דאס די געדאנק: אויף די (ועכ״פ איינע פון די) אינטעלעקטשואלע forum ביהדות החרדית פאסט עס זאלן זיין אזעלכע סארט אשכולות ווי מ׳רעדט ארום וועגן דעם.

כידוע, איז מאטעמאטיקס די נענסטע מ׳קען צוקומען צו ״אמת״, ועיין באשכול טענה. (ואיה״נ אז דאס האט אויך די שוואכקייט פונעם מונכהאַוּזן טריילעמאַ (וואס איך בין מסביר אין מיין ארטיקל על נושא אמונה) אבער דאס איז סתם אזוי לגבי ״אמת״ בכלליות. ועיין בחתימתי בכלל, פון וואס ATUB @הקטן ATUB אליין האט טאקע אפגע׳חוזק׳ט. אבער בתוך זה איז דאס אבער דאך די נענסטע, ופשוט.) ואולי עפי״ז קען מען טאקע זאגן א רמז בסוף סוטה לגבי עיקבתא דמשיחא ״וחכמות סופרים תסרח ויראי חטא ימאסו והאמת תהא נעדרת״. והיינו, בעיקבתא דמשיחא איז דאס׳ן משווה זיין ״ווער איז גרעסער און ווער איז קלענער״ פון די סופרים ויראי חטא אויפ׳ן זעלבן מדריגה ווי חשיבות ״אמת״ ומאטעמאטיקס ווייל דאס איז נעדרת.

אין קורצן, נעבעך. (און דאס איז שוין פון איינעם וואס נעמט זיך אָן פאר אמונה בהשטיבל. אז מ׳פרעגט מיר איז דאס א חילול ה׳ און ברענגט אראפ די ווערט פון אט די אמונה בעיני החכמים.

שוין. כלום מתקנא אלא חכם בחכם. און עס איז טאקע מן הראוי צוצוצייכענען צו וואס @אדנירם האט געשריבן בסוף תגובה זו.

.

איזי איזי...
ווען איינער זאל ווען קאיפען שטיקער תנ"ך דא, וואלט איך אויך געשריבן דאס וואס איך האב געשריבן

ס'איז היינט אן אפענע וועלט און ווער ס'וויל לערנען חכמה האט ב"ה אווי צי גיין


דיין Ad hominem ארגיאמענט געט אויך נישט קיין סך צי

הקטן האט געשריבן:ווען איינער זאל ווען קאיפען שטיקער תנ"ך דא וואלט איך אויך געשריבן דאס וואס איך האב געשריבן

מ'טוהט דאס דאך טאקע דא אבער בהסבר (ולדוגמא אפאר פון ATUB @קאך_לעפל ATUB 'ס אשכולות) - איך געדענק נישט דו זאלסט האבן געזאגט אזאנס אויף זיי. און אט דאס פרוביר איך צו טוהן פונקט אזוי ביי די נושא, און אזוי ווי ATUB @פארוואס? ATUB האט געטוהן אין זיינע מאטעמאטישע אשכולות וואס ער האט "געקאַפּיט". די חילוק איז אז כנראה יענץ פארשטייסטו און דאס נישט. (ווי אויך האסטו אליין נישט געהאט די טענה אויף מיין אשכול איבער טערמאדינאמיקס, וואס איז פונקט אזוי ״געקאַפּיט״, און אפילו מיטגעהאלטן דארט.)

הקטן האט געשריבן:דיין Ad hominem ארגיאמענט געט אויך נישט קיין סך צי

קיימתי בך עם עקש תתפל, דכך דרכך. ובפרט אז עס געבט יא צו צו פארוואס איך בין דיר נישט דן לכף זכות מיט'ן פּרינציפּ פון טשעריטי וכדכתבתי. איך שטיי ביי יעדעס ווארט איך האב געשריבן.

צו ענדיגן, צו ״קאַפּיען״ אזוי ווי דו האסט ליב צו זאגן אויף אנדערע, איז דיין אנטווארט דא:

הקטן האט געשריבן:אויבערפלעכלעך עס-יאזעל

איך ווייס נישט פין וועלכע אשכול דו רעדסט וואס ברענגט שטיקער תנ"ך תגיבה נאך תגיבה אן קיין דיסקאשען בעק-ענד-פארד פין אנדערע חבירי השטיבל.
אויב אזא אשכול וואלט ווען געווען אין טאפ פין אקטיווע אשכולות וואלט איך ווען מן הסתם יענץ געניצט פאר א משל (די אשכול, און אנדער אזאלכע אשכולות איז דאך נישט היינט געבוירען, און איך האלט וואס איך האלט, שוין א לאנגער צייט, אן דעם וואס איך זאל זאגן א ווארט דערוועגן, וואו לאנג דאס מאכט דיך גוט פילען - איי דאנט גיוו עי, מנלנ"ז, האט)

צי איך פארשטיי יא צי ניין איז מיר שווער צי ענפערן ווייל ווען איך לערנען מאטעמאטיק האב איך בעסער ליעב צי ליינען און ענגליש
ליבי אומר לי דאס איז אזוי ביי אסך, אנ-לעס ס'ווער א שמוס פין זה אומר בכה וזה אומר בכה

איז טוישסטו (עד האַק) פון א פראבלעם פון ״קאַפּיען״ צו פשוט א פראבלעם אז די עולם האלט נישט מיט. אין אנדערע ווערטער, האלטסטו אזוי ווי ATUB @cictim ATUB . איך האלט נישט אזוי וכ ATUB @העניך ATUB שם. און אזוי ווי ATUB @מונטסורי ATUB האט געשריבן דא:

מונטסורי האט געשריבן:למעשה האלט מיר יעצט אינמיטען דורכלערנען דעם תגובה פון @מי אני און דאס קאפ שווינדעלט, גענוג געווען פאר איין יום טוב, גיימיר מאכן אייער שפייז. ומכאן הקריאה יוצאת צו @מי אני חלילה נישט מיד צו ווערן, אפילו עס קוקט אמאל אויס אז דער עולם שלאפט ביים שיעור, ביום מן הימים וועט איינער ווער דא אריינפאלן, פרובירן צו ליינען און אפשר א לייק טון.

ווי אויך איז עס לענ"ד סתם אזוי א סארט סורווייווערשיפּ בּייעס זיך נאר וויסענדיג צו מאכן און רעכענען דאס "וואס געבט צו צום שטיבל" לפי די רעאקציעס, די "בּעק ענד פאָרט", וואס מ'זעהט דאס באקומט, און מ׳נעמט נישט אין באטראכט די וואס ליינען דאס סתם וואס זיי זעהט מען נישט. מ'זעהט אז רוב פון די וואס שרייבן זיך איין מיט זייער ערשטע הודעה אין די "שלום עליכם" אשכול זאגן אז זיי ליינען שוין דא אלס געסט א לענגערע וויילע, און ווי ATUB @מיימון ATUB האט דארט ארויסגעברענגט שרייבן רוב פון זיי נישט ווייטער קיינע תגובות, הגם זיי זעהן אויס ווי חכמים. אבער כנראה ליינען זיי אבער פארט די אשכולות און ארטיקלען. (איך בין א קעיס-אין-פּוינט: איך האב נישט רעאגירט אין יענעם אשכול איבער "ווער איז גרעסער" אבער איך האב פארט געזעהן דיין נארישע תגובה.) אין אנדערע ווערטער, ס'איז שטארק יתכן ו"לבי אומר לי" אז די וואס ליינען דאס בסתם, צי אלס סתם גאסט צי אלס איינגעשריבענע באניצער וואס ראאגירן נישט און לייקן נישט, זענען די רוב כנגד די וואס וואלטן ווען געדארפט רעאגירן און רעאגירן אויף אנדערע אשכולות. און ATUB @יואב ATUB האט זיך טאקע אפגערעדט דערויף אז היתכן מער מענטשן האלטן נישט ממש אקטיוו מיט מיט די סארט טעמעס. עס וואלט טאקע געפאסט פאר'ן עם חכם ונבון.

ולסיים, זאלסט מיר מוחל זיין (אדער נישט) אבער צו דעניגרעיטן אשכולות וואס זענען למעשה אינהאלטסרייך און איבער חכמה און דאס נישט עפּרישיעיטן, צייגט אז דער מענטש וואס דעניגרעיט דאס איז נישט קיין חכם, ועיין ברבינו יונה בריש פ"ד באבות. און ווי געזאגט איז עס א שאד וויבאלד עס זענען דא די וואס האלטן דיר פאר א ידען וכו׳ און אלס איינער וואס קען ענטפערן אויף עניני אמונה. איך וואלט געזאגט א סארט (אבות א יא) ״חכמים הזהרו בדבריכם״ אבער איך האלט נישט אז דאס עפּלייט, וכנ״ל. וממילא לגבי ״וואס דו האלטסט״, איז צו נוצן די לשון פונעם מרדכי (ע״ז תתנד, והובא בטו״ז יו״ד סימן צח ס״ק ו): ״דעת טפשין/שוטים אינו כלום״ (און דאס איז טאקע אינעם קאנטעקסט פון נישט וויסן ווי אזוי און נישט קענען "רעכענען" ששים...). וידוע ד״קטן״ לאו בן דעה הוא (לדוגמא בחגיגה ב: בגיטין כג. ובמנחות צג.).

מיין זיך אפגעבן אין די לענג מיט דיינע דברי בלע איז אפשר א ביישפיל פון קאָנינגהעם׳ס געזעץ, וואס קיינער האט טאקע נישט רעאגירט דערויף דארטן וואו איך האב עס צוגעברענגט, אבער דו אליין האסט דאס טאקע געליינט און געלייקט. (ואולי איז דאס אויך א ביישפיל פונעם פריער-דערמאנטן בּרענדאליני׳ס געזעץ.)

אז מ׳האט פריער אראפגעברענגט דע מארגענ׳ס געזעצן אין לאגיק, איז קען מען דאס נוצן אויף אויפצוווייזן קעגן אנסעלמ׳ס אנטאלאגישע ארגומענט. ווי באקאנט, ארבעט זיין ארגומענט אז מ׳דעפינירט ״ג-ט״ אלס די being פון וואס גרעסער/מער ווי דעם קען מען זיך נישט מצייר זיין בכלל. און די געדאנק קען מען זיך דאך מצייר זיין במחשבה. אויב אבער עקזיסטירט דאס נישט דאן איז דאך יא שייך עפעס מער/גרעסער, והיינו א being וואס עקזיסטירט אויך און דאס איז א סתירה צו וואס מען האט זיך ממש פריער מגדיר געווען. אין אנדערע ווערטער, זאגן ״ג-ט [עפ״י ההגדרה הנ״ל] עקזיסטירט נישט״ איז א סתירה מיניה וביה.

כידוע האט שוין דער כומר גאנילו פון מאַרמאָטיער געפרעגט דערויף בשעתו אז מ׳קען דאך נוצן דאס זעלבע לאגיק אויף אויפצווויייזן אז די מערסטע פּערפעקט אינזל עקזיסטירט בע״כ, וכדומה. אויף וואס אנסעלם האט גע׳ענטפערט אז די געדאנק פון מערסטע/גרעסטע פּערפעקשאן ליגט אין די הגדרה פון ״ג-ט״ משא״כ ביי ״אינזל״ וכדומה.

קאנט האט געפרעגט אויפ׳ן הוכחה אז עס איז נישט שייך צו זאגן אויף ״עקזיסטענץ״ אז עס איז א פּרעדיקעט וואס עפעס ״פארמאגט״ אדער נישט, וממילא דן צו זיין דערויף צו די עפעס האט דאס ״אויך״ צי נישט. צו זאגן אז ״דאס-און-דאס עקזיסטירט נישט״ איז נישט צו געבן ״נישט-עקזיסטענץ״ צו עפעס אַן ענטיטי - עס איז איידער צו זאגן אז גארנישט טוהט באפרידיגן די-און-די הגדרה.

מ׳קען דאס זעהן עפ״י דע מארגענ׳ס געזעץ אז עס איז נישט א סתירה מיניה וביה אפילו ווען מ׳לייגט אריין ״עקזיסטענץ״ בפירוש:

לאז ג׳ = ג-ט

לאז פּ׳ = אינפיניטלי פּערפעקט

לאז ע׳ = עקזיסטענץ

‏∀x[גx↔(פּx&עx)]
מיינענדיג,
‏עפעס איז ג-ט אויב און נאר אויב [iff] די עפעס איז אינפיניטלי פּערפעקט און די עפעס עקזיסטירט

דאן צו זאגן ״עס איז נישטא קיין ג-ט״ איז דאס זעלבע ווי זאגן:
‏~∃x[(פּx&עx)]
מיינענדיג,
‏עס איז נישטא קיין עפעס אזוי אז די עפעס איז אינפיניטלי פּערפעקט און די עפעס עקזיסטירט

און עפ״י דע מארגענ׳ס געזעץ איז דאס די זעלבע ווי זאגן:

‏∀x[(~פּx) אדער/v (~עx)]
מיינענדיג,
‏פאר יעדעס עפעס, אדער איז די עפעס נישט אינפיניטלי פּערפעקט אדער די עפעס עקזיסטירט נישט

מ׳קען זעהן אז עס איז נישטא קיין סתירה דערין אין די לעצטע זאץ.

און אז מ׳האט דערמאנט דער לאגיקער דר. קורט גאדעל אינעם אשכול (ובענין טעאלאגיע), האט ער געמאכט א ווערסיע פונעם אנטאלאגישן ארגומענט עפ״י מאָדעל לאגיק - א לאגיק וואס ארבעט ארום מיט ״מוכרח, מעגליך, אדער אומעגליך״. ווי דער טעאלאג דר. עלווין פּלענטינגא איז דאס מסביר (אין קורצן) אז א ״great being״ באדייט אז עס וואלט געווען “great” נישט קיין חילוק ווי אזוי אימער אומשטענדן וואלטן זיך ווען אויסגעשטעלט. א “maximally great being״ באדייט אז דאס איז א “great being״ אין יעדעס מעגליכע וועלט [״וועלט״ אין איר פילאזאפישן/לאגישן באדייט]. אויב אזא being עקזיסטירט בכלל, עקזיסטירט דאס בהכרח אין יעדעס מעגליכע וועלט; עס איז דאך נישט קיין אפשרי בעצם הגדרתה. יעצט, אפילו דער אטעאיסט איז מודה אז די “maximally great being״, והיינו ״ג-ט״, איז (לאגיש) ״מעגליך״. אבער דאס באדייט דאך דאס זעלבע ווי זאגן אז אין עפעס א מעגליכע וועלט איז דא א ג-ט. און אויב איז דאס דא אין איין מעגליכע וועלט איז דאס דא בהכרח אין יעדעס מעגליכע וועלט וכנ״ל. (דאס האט נישט קאנט׳ס פירכא וויבאלד די געדאנק דא איז נישט ״עקזיסטענץ״ ווי איידער ״הכרח׳דיגע עקזיסטענץ״.)

‏דא הא׳מיר אראפגעברענגט אז אפילו אויף דעם זענען דא פירכות.

לגבי ראמאנוזשאן סאָמעישאן קען מען ״אויפווייזן״ אז די סיריִס פון:
1+2+3+4…
איז 1/12- אויב נעמט מען אָן אז גראַנדי׳ס סיריִס קומט אויס צו 1/2. והיינו, איך מאך א סארט גראַנדי׳ס סיריִס וואס טוישט זיך פון ״+״ צו ״-״ אבער וואקסט מיט אַן אבסאלוט נומער כזה:
1-2+3-4+5…
דערנאך פרעג איך וואס איז די סומע פון צוויי מאל די סיריִס: ווען איך עדד די סיריִס צו זיך. אבער וויבאלד דאס איז דאך אַן אינפיניט סיריִס, איז ווען איך לייג איינס צו צום צווייטן קען איך דאך בעצם ארויפרוקן די נומערן מיט איינס (דער אמת לאמיתו איז אז מ׳קען דאס נאר טוהן טאמער זיי זענען אַבּסאלוטלי קאָנווערדזשענט). מיינענדיג, עס וועט אויסזעהן אזוי:
1-2+3-4+5…
0+1-2+3-4…
און אזוי אויסשטעלן די וועליוּס און יעדעס איינס אראפרעכענען פון די נומער גראד העכער איר. ווי מ׳קען זעהן וועט דאס אויסקומען צום געהעריגן גראַנדי׳ס סיריִס וואס מ׳זאגט איז דאך 1/2. דאס איז אבער געווען צוויי מאל די סיריִס, וממילא איז אט די סיריִס קומט אויס צו האלב דערפון וואס דאס איז 1/4.

יעצט סאָבּטרעקט איך די נייע סארט גראַנדי׳ס סיריִס, וואס איך ווייס איז 1/4, פון פונעם (באמת דייווערדזשענט ערשטע סיריִס כזה:
1+2+3+4+5…
1-2+3-4+5…
ווי אָנגערירט אין די אשכול ווען מען סאָבּטרעקט א נעגאטיוו נומער פון עפעס איז כאילו איך עדד דאס פארקערטע. צב״ש, 1 מיינוס נעגאטיוו 1 באדייט 1 פּלאָס פּאזיטיוו 1. עפי״ז קען מען זעהן אז סאָבּטרעקטן די סיריִס פונעם ערשטן געבט:
0+4+0+8+0+12…
עס איז א פּעטערן פון נאך יעדעס 0 אינעם סיריִס וואקסט עס ביי 4. איך קען איגנארירן די 0׳ס און אז איך דיווייד די גאנצע סיריִס ביי 4 איז עס דאך די אריגינעלע סיריִס פון:
1+2+3+4…
ווייס איך אז די אריגינעלע סיריִס מיינוס די סיריִס וואס קומט אויס צו 1/4 איז 4 מאל אט די אריגינעלע סיריִס:
S-1/4=4S
אז איך סאַלוו פאר S קומט דאס אויס צו 1/12-.

עס זעהט אויס ״אילעגאל״ אבער למעשה טרעפט מען דאס אין פיזיקס. ‏דא, ווי דר. עדמונד קוֺיפּלענד איז דאס מסביר, שרייבט איינער:

אז מען מאכט די אריגינעלע סיריִס הנ״ל נאר מיט יעדעס נומער אינעם סיריִס האבענדיג אַן איִווען עקספּאנענט איז די ראמאנוזשאן סאָמעישאן דערפון 0. אויב געבט מען עס אַן אַדד עקספּאָנענט, דעפינירט אלס איינס ווייניגער ווי 2 מאל א געוויסע נומער, דאן גייט די ראמאנוזשאן סאָמעישאן דערפון זיין די נעגאטיוו פון די בּערנאָלי נומער פון די פלאץ פון אט די 2 מאל א געוויסע נומער [אינעם בּערנאָלי נומער סיִקווענס], דיוויידעד ביי 2 מאל די געוויסע נומער. (ווען די עקספּאנענט איז א קיוּבּ, 3, דאן איז דאס למשל 1/120.)

דר. עדווארד פרענקעל טענה׳ט אז די ראמאנוזשאן סאָמעישאן לומדות איז די זעלבע סארט ״אילעגאל״ וואס האט בכלל געגעבן די נומער i פאר אַן איִווען-רוּט פון א נעגאטיווע נומער. און ער זאגט דאס איז אפילו ענליך צו ווען מען איז אויפגעקומען מיט ״אילעגאלע״ אירעשאנעל נומערן.

ווי געזאגט איז אויף גראַנדי׳ס סיריִס באקומט מען דורך די סעזאַראָ סאָמעישאן א סארט קאָנווערדזשענס צו 1/2. דאס ארבעט דורך דעם אז ביז יעדעס נומער אינעם סיריִס נעם איך די עוורידזש פון אלע נומערן צאמגערעכענט ביז אהין. די עוורידזש וואס קומט אויס דאס מערסטע, דאס גייט זיין מיין סומע דא. די לומדות ארבעט ביי געוויסע סארט דייווערדזשענט סיריִס. עס ארבעט אויך ביים צווייטן סארט סיריִס הנ״ל אויפצוווייזן אז עס איז 1/4. עס ארבעט אבער נישט ביים סיריִס פון:
1+2+3+4…
צו צייגן אז דאס איז 1/12-. דער מאטעמאטיקער דר. בּוּרקאַרד פּאָלסטער איז ברוגז אויף דעם חשבון הנ״ל… (יענעם חשבון קומט פונעם פיזיקער דר. אנטאני פּאַדיִאַ.) דר. פּאָלסטער ברענגט ארויס אז טאמער טוישט מען א משהו די ריעמאן זעטאַ פאָנקשען אז אנשטאטס נאר ״+״ האלט עס זיך אין איין טוישן מיט ״-״ ביי יעדעס צווייטע, דאן איז דאס די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען; נאטירט אלס *ζ מיט א שטערענדעל אויבן (אדער מיט η.

אויב איך געב א 0 פאר׳ן s פון דעם דיריכלעט עטאַ פאָנקשען גייט דאס זיין גראַנדי׳ס סיריִס. און טאמער געב איך פאר s א וועליוּ פון 1- דאן איז דאס די צווייטע סארט גראַנדי׳ס סיריִס הנ״ל.

ער ווייזט אויף דאס אז עס איז 1/12- דורכ׳ן סאָבּטרעקטן די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען פונעם ריעמאן זעטאַ פאָנקשען. עס קומט אויס אז יעדעס אַדד פלאץ וועט זיין 0, וואס איך קען איגנארירן, און יעדעס איִווען פלאץ האט א 2 אינעם נוּמערעיטאר און די דענאַמינעיטאר וואקסט מיט 2 (און האט די s עקספּאָנענט אויף זיך). אז איך דיווייד דאס אלעס ביי 2 איבער 2 מיט דעם s עקספּאָנענט איז עס דאך די געהעריגע ריעמאן זעטאַ פאָנקשען. אז מ׳סאַלווט דאס אלגעברעאיש קומט אויס אז די ריעמאן זעטאַ פאָנקשען איז דאס זעלבע ווי די דיריכלעט עטאַ פאָנקשען דיוויידעד ביי וואו איך האב אוועקגענומען פון 1, 2 דיוויידעד ביי 2 וואס האט די עקספּאָנענט פון s. און אז איך געב פאר s די וועליוּ פון 1- דאן איז דאך דאס ביים כנ״ל די צווייטע סארט גראַנדי׳ס סיריִס, וואס דאס ווייס איך דאך איז 1/4 ביים דיריכלעט עטאַ פאָנקשען, און ביים ריעמאן זעטאַ פאָנקשען איז דאס דאך:
1+2+3+4…
און אז איך סאַלוו עס יעצט קומט דאס אויס צו 1/12-. ועפי״ז קומט אויס אז טאמער געב איך פאר s א וועליוּ פון 0, וואס דאן איז דאך דאס די געהעריגע גראַנדי׳ס סיריִס כנ״ל, דאן גייט דאס אויסקומען צו 1/2-. (און דאס אז ביי יעדעס נעגאטיוו איִווען וועליוּ איז דאס וואס עס געבט ארויס 0, דאס זענען דאך די ״טריוויעל״ 0׳ס.)

‏דאס איז ראַמאַנוּזשאַן סאָמעישאן.

ער ענדיגט צו אינטרעסאנט אז טאמער איך טוה ביי די סיריִס פון:
1+2+3+4…
טוישן יעדעס נומער אין דעם לויט׳ן צאמרעכענען אלע נומערן ביז אהין:
1,3,6,10…
דאן איז דאך די פארמולא דאס צו וויסן ביז א געוויסע נומער, אזוי ווי קאַרל פרידריך גאַוּס האט אויפגעוואוזן אלס קינד, יענע נומער טיימס איינס מער ווי יענע נומער און איך דיווייד דאס ביי 2. אויב מיט ״יענע נומער״ מיין איך x, אזוי ווי אין אלגעברא בכלליות, און איך גרעף דאס, זעהט דאס אויס כזה. און די עריע אין די קוּרוו אונטער די x עקסיס [וואו ס׳איז געל] איז 1/12-.

לגבי סיִקווענסעס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו מוֺיסנער׳ס טעארעם. דאס זאגט אז איך קען צאמשטעלן א סיִקווענס פון
1,2,3,4,5…
וואו יעדעס נומער האט די זעלבע עקספּאָנענט דורכ׳ן טוהן כזה: למשל, אויב וויל איך וויסן וואס גייט זיין די סיִקווענס ווען יעדעס נומער האט אַן עקספּאָנענט פון 2, דאן נעם איך צום ערשט ארויס פון דעם געהעריגן סיִקווענס פון נומערן איינע נאך דאס אנדערע [אָן קיין שום עקספּאָנענט] יעדעס צווייטע נומער:
1,3,5,7,9…
דערנאך טויש איך יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין:
1,4,8,16,25…
דאס איז דאך:
1²,2²,3²,4²,5²…

אויב וויל איך דאס טוהן פאר, צב״ש, אַן עקספּאָנענט פון 4, דאן צום ערשט נעם איך אוועק יעדעס פערטע נומער אינעם סיִקווענס. דערנאך טויש איך יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דערנאך נעם איך אוועק יעצט יעדעס דריטע נומער אינעם סיִקווענס און איך טויש יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דערנאך נעם איך אוועק יעדעס צווייטע נומער אינעם סיִקווענס און איך טויש יעדעס נומער אין דעם סיִקווענס לויט די סומע פון אלע נומערן וואס קומען בעפאר ביז אהין. דאס גייט מיר געבן:
1⁴,2⁴,3⁴,4⁴…

אויב נעם איך ארויס צום ערשט יעדעס טרייענגולער נומער און איך רעכן אלע נומערן ביז אהין פון וואס בלייבט איבער און איך טויש עס מיט דעם, באקום איך די סיִקווענס פון די פעקטאָריעלס:
1!,2!,3!,4!…

אז מ׳האט אויבן גערעדט אין די געדאנק פון דאָבּל-נעגעישאן לגבי מגדיר זיין ״ג-ט״, איז כידוע דא צוויי סארטן דראָגס: אינהיבּטארי, וואס האלטן צוריק ניוראָטראסמיטארס אינעם מח, און עקסייטעטארי, וואס טוהן דאס פארקערטע. אלקאהאל איז אַן אינהיבּיטארי דראָג וואס (ווי דר. פּאָל בּלום איז דאס מסביר אין די לעקציע [27:06-27:15]) טוהט אינהיבּיטן די אינהיבּיטאָרי חלקים פונעם מח (הגם באמת זענען די חלקים אין ראם פון עקסייטעטארי) וואס האלטן אין אלגעמיין צוריק דעם מענטש, ולכן איז א שיכור ווילדער וכדומה.

ולפי״ז טרעפט מען אזא סארט ענליכן געדאנק פון א דאָבּל-נעגאטיוו ביי יין. האב איך געקלערט אז מ׳קען מיט דעם זאגן א רמז בהגמרא בעירובין סה. א״ר חנינא כל המתפתה ביינו יש בו מדעת קונו ע״ש. והיינו, אז ער פארשטייט די געדאנק פונעם דאָבּל-נעגאטיוו שבהיין, וואס די געדאנק איז לגבי לדעת את קונו וככל הנ״ל. (און דאס קען אויך זיין די רמז דארט פון נכנס יין יצא סוד. און דאס קען אויך זיין די געדאנק פון, סנהדרין ע., חמרא וריחני פקחין.)

ובכל זה, דער אסטראנאמער דזשעימס דזשיִנס האט געזאגט, "ג-ט איז א מאטעמאטיקער". און ווי דזשים האָלט שרייבט לגבי די חקירה אינעם פילאזאפיע פון מאטעמאטיקס צי מאטעמאטישע מושגים טוהן "עקזיסטירן" ממש טאקע (אין אן אנטאלאגישן זין):

און פונקט אזוי ווי דארט ביי מאטעמאטיקס פארשטייט מען אז די תירוץ צום לעצטן שאלה זיינער איז ל"ד "יא", איז ביי טעאלאגיע אויך, וואו די דריטע עיקר קומט אזוי כעין נעגעיטן דעם ערשטן עיקר וככל הנ"ל, אויך די תירוץ צו די שאלה דערביי ל"ד "יא".

***

ווען לייבניץ האט געוואלט מסביר זיין פאר די מלכה סאָפיִאַ טשאַרלאט פון Prussia די געדאנק פון אינפיניטלי קליין [אינפינטעסימעל], האט זי געזאגט אז עס פעהלט נישט אויס ווייל זי ווייסט דאס זעהענדיג אירע יועצים...

אז מ׳האט גערעדט פון מעיטריסיִס ובענין סיִקווענסעס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום נומער וואנט. דאס איז וואו איך שטעל אויס א שורה פון 1׳ס איינס נאכ׳ן צווייטן. גראד אונטער דעם שטעל איך נאכדעם א שורה פון עני נומערן איך וועהל אויס. דערנאך שטעל איך אויס דערין נומערן אזוי אז יעדעס נומער זאל זיין די סקווער פון די סומע פון די פראדוקט פון די נומערן צו אירע רעכטע און לינקע זייט און די פראדוקט פון די נומערן העכער איר און אונטער איר. מיינענדיג, אז ווען איך מאָלטיפּליי די נומער וואס איז גראד צו רעכטס פונעם נומער צוזאמען מיט די נומער גראד צו לינקס פונעם נומער, און איך לייג צו צו דעם די פראדוקט ווען איך מאָלטיפּליי די נומער גראד העכער דעם נומער מיט די נומער גראד אונטער דעם נומער, און דערנאך סקווער איך עס [איך מאָלטיפּליי עס ביי זיך אליין] וועט עס זיין אט די נומער אינדערמיט. (ווען איך שטעל אויס דעם וואנט ווייטער ווייס איך בדרך כלל וואס איז שוין די מיטעלסטע נומער און איך דארף געוואור ווערן, דורך אלדזשעברא, וועלכעס איז א נומער וואס פעהלט ארום איר.)

‏(עס איז אביסל ענליך צו פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל.)

א נומער וואנט העלפט מיט׳ן קענען דעצידירן וואס קומט דערנאך אין א סיִקווענס וואס מ׳געבט דיר. והיינו, איך שטעל אט די סיִקווענס אונטער די שורה פון 1׳ס. ביי א געוואלד סיִקווענסעס וואס גייען מיט עפעס א סדר וועט די נומער וואנט זיך עווענטועל ענדיגן מיט נאר שורות פון 0,ס. למשל, דא ביי די סיִקווענס פון סקווערס:

דאס האלט אויך אָן ביי די סיִקווענס פון קיוּבּס, העכערע פּאַוּערס/עקספּאָנענטס, ואפילו די פיבּאָנאַטשי סיִקווענס.

איז אויב זעה איך אז דאס פאסירט מיט די נומער וואנט פון דעם סיִקווענס, דאן וואס איך טוה איז אז איך שטעל אויס די נומער וואנט מיט די סיִקווענס און טויש די צווייטע שורה, וואס איז די געגעבענע סיקווענס, צו די נומער מיינוס די נומער וואס קומט פאר דעם אינעם סיִקווענס טיימס x. דערנאך שטעל איך אויס ווייטער די נומער וואנט עפ״י די הלכות הנ״ל נאר מיט די הלכות ווען איך מאָלטיפּליי א וועריעבּל. ביים שורה העכער וואו דח שורה דארונטער זענען 0׳ס, קומען זיי אויס צו בעצם די זעלבע פּאַלינאָמיעל און ווען איך סאַלוו דאס און טערמינען פונעם העכסטן דעגרי [די נאָמיעל וואס האט דאס גרעסטע עקספּאָנענט] איז דאס רעכען איך אלס די מקום וואס איך וויל אָנפילען אינעם סיִקווענס, די צווייט העכסטע נאָמיעל איז די פלאץ אינעם סיִקווענס פאר דעם, די דריט העכסטע איז צוויי פלעצער אינעם סיִקווענס פאר דעם, אא״וו. ווען איך פאלג די עקוועישאן געבט דאס מיר דעם נומער איך זוך.

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז די פּאַלינאָמיעל איך באקום פונעם נומער וואנט וואס איך מאך פאר׳ן פיבּאָנאַטשי סיִקווענס:

קאוד: וועל אויס אלע

-x²+x+1

און אז איך סאַלוו דאס באקום איך:

קאוד: וועל אויס אלע

(1+√5)/2

וואס דאס איז די גאלדענע רעישיאו וואס איז מקושר צום פיבּאָנאַטשי סיִקווענס.

עס קומט אויך אויס אז יעדעס מאל עס איז דא א 0 אין א נומער וואנט גייט עס אדער זיין אליינס אדער שאפן א פונקטליכע סקווער: 4 0׳ס צוזאמען, 9 0׳ס צוזאמען, 16 0׳ס צוזאמען אא״וו. און ווען עס איז דא איין 0 ארום א נומער אינעם וואנט קעגנאיבער דעם נומער וואס איך וויל געוואור ווערן קען עס מאכן א פראבלעם וויבאלד 0 טיימס די וועריעבּל וואס איך וויל וויסן וועט עס אטאמאטיש מבטל זיין. דאן איז וואס איך טוה איז כזה:

איך עקסטענד דאס און איך סקווער אלע נומערן וואס זענען הארט נעבן דעם נומער אינעם וואנט. דערנאך מאָלטיפּליי איך די אין די שתי וואס זענען נעבן מיט די אויף די אנדערע זייט קעגן זיי אינעם שתי וואס זענען מער אינדרויסן [פונעם זעלבן קאליר אינעם בילד] און איך טוה דאס נאכאמאל פארקערט אבער ווייטער אינעם שתי, און דאס דארף אויסקומען די זעלבע ווען איך טוה די זעלבע שפיל אינעם ערב. עס זענען דא אנדערע לומדות׳ן צו טוהן ווען די סקווערס פון די 0׳ס זענען נאך גרעסער כנ״ל.

בנוגע די קשר צווישן מאטעמאטיקס און אמונה וואס מ׳האט גערעדט אינעם אשכול איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו וואס דער פראנצויזישער מאטעמאטיקער זשאַן לע ראַנד ד׳אַלעמבּערט האט געזאגט לגבי רעכענען אינפיניטעסימעלס, די אינפיניטלי קליין: ״גיי ווייטער, און די אמונה [אין זייער עקזיסטענץ] וועט שוין קומען צו דיר.״

ועוד בזה (מיט הומאר):

***

ולגבי גאָדעל׳ס טעארעם האט דער פיזיקער דזשאַן אַרטשיבּאָלד וויִלער געקלערט אז עס איז מעגליך דא א קשר צווישן דעם טעארעם און הייזענבערג’ס אָנסירטענטי פּרינציפּ אין קוואנטום פיזיקס. ער איז געגאנגען דאס פרעגן פון גאָדעל אליינס. גאָדעל איז געווארן ברוגז און אים ארויסגעווארפן פון זיין אפיס.

בנוגע גאָדעל׳ס טעארעם איז דא אין קאמפּיוטער סייענס/מאטעמאטיקס די געדאנק פון קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי. דאס איז די מעסטונג פאר א געוויסע זאך די מינימום/קערצסטע פראגראם (אין א געוויסע פראגראמינג שפראך), אין אינפארמאציע/בּיטס, וואס געבט ארויס אט די זאך (מיט איר אינפארמאציע) ווען די פראגראם לויפט אויף אַן איידיעלייזד קאמפיוטער מיט אָנלימיטעד מעמארי. אין אנדערע ווערטער, עס איז א מעסטונג פון א זאך אין די קלענסטע וועג איך קען ענקוֺידן איר אינפארמאציע אין בּיינערי. (דאס האט א שייכות מיט סאלאמאנאף׳ס טעאריע פון יוניווערסאל אינדאקטיוו אינפערענס.)

אין דעם איז דא טשעיטין׳ס אינקאָמפּליִטנעס טעארעם. דאס לויטעט אז עס איז אלס דא א נומער וואס מ׳קען נישט אויפווייזן אז די קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי פון עני ספּעציפישע סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס (וואס יעדעס זאך איז דאך בעצם אינפארמאציע און קען ווערן ענקוֺידעד אלס א סיִקווענס פון בּיטס/אינפארמאציע) איז מער ווי דעם. דאס מיינט אז פאר יעדעס נומער איז דא אַן אינפיניט צאל סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס וואס האט א קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי מער ווי דעם (ווייל עס איז דאך דא א גבול פון וויפיל קורצע פראגראמען עס זענען פארהאן), אבער מ׳קען נישט ווייזן אויף א געוויסע ספּעציפישע סיִקווענס פון אינפארמאציע/בּיטס און אויפווייזן אז איר קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי איז מער ווי דעם.

די נומער ווענדט זיך אין די פראגראמינג שפראך מ׳נוצט און די סיסטעם פון מאטעמאטיקס מ׳נוצט. (אַן upper bound דערויף איז ממש אפאר קילאבּייטס.)

‏דאס קען ווייטער האבן א שייכות מיט די טעאלאגישע שמועסן אין דעם אשכול, לגבי דעם ווי ריבוי וקאמפּלעקסיטי קומט פון פשטות. ועיין לדוגמא בעיקרים מאמר ב פי״א.


ועיין כאן.

***

ולגבי די געדאנק פון עוסק זיין אין pure חכמה און די נוצליכקייט דערפון, פארציילט מען אז דער בריטישער פינאנץ מיניסטער איז אמאל געקומען באזוכן מיכאל פאראדעי. זעה׳ענדיג עקספּערימענטן אין עלעקטראָמאַגנעטיזם האט ער געפרעגט, ״וואסערע נוצן איז דא דערפון?״ האט אים פארטדעי גע׳ענטפערט, ״איך ווייס נישט. אבער איין טאג וועסטו נאך בעהטן דערפון שטייערן.״

***

דער מאטעמאטיקער דר. מעלווין נעטענזאן דערציילט:

ער דערציילט סתם אזוי:
ער ברענגט ארויס אז אויפקומען מיט חידושים במאטעמאטיקס ארבעט בעסער ווען מ'ארבעט אליין ווי איידער בחברותא. גייט דאס שוין ווייטער צוזאמען מיט טעאלאגיע אין דעם געביט אז פשטות איז בעסער ווי ריבוי.

ווי געזאגט איז ווען מען געבט אַן עקספּאָנענט פון 4, אדער א מאָלטיפּל דערפון [עני נומער איך קען דיוויידן ביי 4 אָן א רימעינדאר] צו i ברענגט עס דאס צוריק צו א געהעריגע פאזיטיווע 1. דאס באדייט אז i ווערט גערופן די רוּט פון יוּניטי פאר 4 און אירע מאָלטיפּלס. דאס איז ווייל א רוּט פון יוּניטי איז ווען איך וועהל א נומער אלס אַן עקספּאָנענט, און פאר א ספּעציפישע בּעיס (אימעדזשינערי/קאַמפּלעקס) נומער וועט מיר די עקספּאָנענט דאס ברענגען צו 1, דאן איז די בּעיס דאס רוּט פון יוּניטי פאר די בּעיס נומער. טאמער איז נישטא קיין קלענערע עקספּאָנענט איך קען וועהלן דערפון פאר די בּעיס און אזוי עס מאכן צו 1, דאן איז דאס די פּרימיטיוו רוּט פון יוּניטי פון די בּעיס. עס קומט אויס אטאמאטיש אז אויב איז די עקספּאָנענט א פּריים דאן איז דאך דאס בהכרח די פּרימיטיוו רוּט פון יוּניטי פון די בּעיס - עס איז דאך נישטא קיין קלענערע מאָלטיפּל דערפון.

אין דעם איז דא די סיריִס וואס רופט זיך די גאַוּס קראַדוועטיק סומע. דאס איז וואו איך וועהל איין פּריים און איין אינטעדזשער. איך הייב דערנאך אָן פון 0 ביז איינס ווייניגער ווי א די פּריים איך האב אויסגעוועהלט. און ביי יעדעס נומער פון 0 ביז אהין נעם איך די סקווער פון דעם נומער וואו איך האלט און איך מאָלטיפּליי דאס ביי די אינטעדזשער איך האב געוועהלט. און וואס איך באקום געב איך אלס אַן עקספּאָנענט צום (בּעיס) נומער וואס איז די (פּרימיטיוו) רוּט פון יוּניטי פון די פּריים נומער איך האב געוועהלט. דאס טוה איך ביי יעדעס נומער פון 0 ביז איינס ווייניגער פונעם פּריים איך האב געוועהלט. דערנאך עדד איך אלעס וואס איך באקום צאם.

איך קען וויסן וואס איז די רוּט פון יוּניטי פאר׳ן פּריים דורך דאָפּלען פּיי/דאס וואס די היקף פון א סירקעל איז מער ווי איר רוחב [π], דאס מאָלטיפּלייען ביי i, און דאס דיוויידען ביים פּריים. דערנאך געב איך דאס וואס איך באקום אלס אַן ערספּאָנענט צו אוילער׳ס נומער פון 2.718… (דאס האט א שייכות מיט אוילער׳ס אידענטיטעט וואס @שליח האט דערמאנט.)

דער מאטעמאטיקער דר. שמואל פּעטערסאן האט אויפגעוואוזן, מיוסד אויף טאמער די ריעמאן היפאטעזיע איז אמת, אז טאמער אנשטאטס סקווערן דעם נומער וואו איך האלט ביי אינעם פריערדיגן פּראצעדור, טוה איך קיוּבּן די נומער, דאן ווען איך רעכען צאם א צאל גאַוּס קראַדוועטיק/קיוּבּיק סומעס גייען זייערע סומעס צוזאמען זיין בערך אט די צאל פון גאַוּס קראַדוועטיק/קיוּבּיק סומעס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 5 און דערנאך גענומען דעם זעקסטן רוּט דערפון [וועלכע נומער מאל וועלכע נומער וכו׳ 6 מאל, וועט מיר ברענגען צו דעם נומער].

אין דעם איז אויך דא דעם דעדעקינד עטאַ פאָנקשען. דאס איז ווען איך האב עפעס א קאמפּלעקס נומער [אַן עכטע נומער ± אַן אימעדזשינערי נומער]. דאן הייב איך אָן פון 1 און איך מאָלטיפּליי צוזאמען עד אינפיניטי על זה הדרך: אוילער׳ס נומער e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 2 מאל π טיימס i טיימס די קאמפּלעקס נומער (ועיין לעיל בנוגע אוילער׳ס אידענטיטעט), און דערנאך דאס אלעס געהעכערט צום עקספּאָנענט צום נומער וואו איך האלט יעצט, און וואס איך באקום סאָבּטרעקט איך פון 1. דאס אלעס וואס איך באקום ביי יעדעס נומער אין די סיריִס טוה איך אלעס צאממאָלטיפּלייען. דערנאך מאָלטיפּליי איך דאס וואס איך באקום פונעם סיריִס ביי די פיר-און-צוואנציגסטע רוּט פון e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון 2 מאל π טיימס i טיימס די קאמפּלעקס נומער.

***

l viewtopic.php?p=508945#p508945 l

בנוגע דעם געדאנק אז לגבי מציאותו של הקב״ה כביכול איז א דאָבּל-נעגעישאן נישט קיין עפירמעישאן און אז די עסאָסיעטיוו/מאָלטיפּליקיטעטיוו דיסטריבּיוּטיוו פּראַפּערטי ביי לאגיק גייט נישט אָן ביי דעם וכו׳, שרייבט דר. יאָהאַן מאַרעק במשנתו של אלעקסיאוס מעינאנג לגבי ״incomplete״ אביעקטן; זיי זענען נישט (נוקלעאר ‏[מיינענדיג: נישט אנטאלאגיש, נישט טעכניש, נישט אינטענשאנעל, און נישט מאָדעל]) דעטערמינד לגבי זייער עסענס צו געוויסע פּרעדיקעטס:

With respect to being, Meinong states that all complete objects have either being or non-being, and all incomplete objects lack being. Meinong’s indifference principle accommodates the law of excluded middle in the external but not in the internal version. From the fact that incomplete objects do not have being, it does not follow that they have non-being as well. Some of them, for example, incomplete objects that are also contradictorily determined, have non-being; others, like the triangle as such, are not determined with respect to being at all

ולדרכינו עפ״י מהלכו איז דאס אז טעאלאגישע באגריפן פון ״ג-ט״ ב״ה פאַלן אונטער דאס צווייטע קאטעגאריע ובנוגע ״being״: ווי די נעגעישאן פונעם דרויסענדן זאץ ווערט נישט דוקא דיסטריבּיוּטעד אריין צום פּרעדיקעט לעצמו. ואיה״נ אז ״ג-ט״ באדייט דאך דאס מערסטע מושלם אין אלעם שייך, איז אבער מצידינו איז דאס בהכרח נישט אזוי און גאר incomplete, ובפרט בנוגע ״being״ וכנ״ל, מכח אונזער אי-השגה דערין. הגם מ׳קען טאקע טענה׳ן אז די עסענס פון ״ג-ט״ איז דאך אט דאס: מוכרח המציאות.

דר. מאַרעק שרייבט דארט ווייטער ולגבי דעם אנטאלאגישן ארגומענט:

Meinong stressed the distinction between “being existing” as a determination of so-being and “existence” (“to exist”) as a determination of being. Meinong’s distinction between judgements of so-being and judgements of being, combined with the indifference principle that being does not belong to the object’s nature (so-being), reminds one of Kant’s dictum that being is not a real predicate. Meinong did not accept the ontological argument either, and argued that “being existing” is a determination of so-being and can in a certain sense be properly accepted even of the object “existing golden mountain,” and, say, even of the object “existing round square,” whereas “existence”, which is a determination of being, will no more belong to the one than it does to the other. In other words, according to the characterization principle both the existing round square and the existing golden mountain (Russell 1907 uses “existent”) are existing (existent), but nevertheless they do not exist. Bertrand Russell could not see any difference between “being existent” and “to exist” and had “no more to say on this head.”

דר. מאַריאַ רייכער שרייבט אין די קאנטעקסט פון קאנט׳ס פירכא אויפ׳ן אנטאלאגישע ראיה אז ״עקזיסטענץ״ איז נישט קיין פּרעדיקעט:
ואגב, אין דעם געביט ולגבי די חילוק בין פּלעטאניזם און פארמאליזם וכדומה במאטעמאטיקס, האט בּערטראנד ראָסעל געשריבן:

Being is that which belongs to every conceivable term, to every possible object of thought... “A is not” must always be either false or meaningless. For if A were nothing, it could not be said not to be... Numbers, the Homeric gods, relations, chimeras, and four-dimensional spaces all have being, for if they were not entities of a kind, we could make no propositions about them. Thus being is a general attribute of everything, and to mention anything is to show that it is. Existence, on the contrary, is the prerogative of some only amongst beings

ומענין לענין באותו ענין האט דער פילאזאף דר. דוד לוּאיס געשריבן:

I’m moved to laughter at the thought of how presumptous it would be to reject mathematics for philosophical reasons. How would you like the job of telling the mathematicians that they must change their ways, and abjure countless errors, now that philosophy has discovered that there are no classes? Can you tell them, with a straight face, to follow philosophical argument wherever it may lead? If they challenge your credentials, will you boast of philosophy’s other great discoveries: that motion is impossible, that a Being than which no greater can be conceived cannot be conceived not to exist, that it is unthinkable that anything exists outside the mind, that time is unreal, that no theory has ever been made at all probable by evidence (but on the other hand that an empirically adequate ideal theory cannot possibly be false), that it is a wide-open scientific question whether anyone has ever believed anything, and so on, and on, ad nauseum? Not me!

ער האט סתם אזוי געשריבן:
I am convinced that philosophical debate always ends in deadlock
ער האט אבער געזאגט דערויף:

That may suggest!an ‘anything goes’ attitude toward philosophical questions that I neither hold nor approve of. I would insist that when debate over a philosophical question ends in deadlock, it does not follow that there is no truth of the matter; or that we don’t know the truth of the matter; or that we ought to suspend judgement; or that we have no reason for thinking one thing rather than the other

אין די לעקציע [4:54-5:33] איז דר. איוואן שזעליעני מסביר העגעל'ס געדאנק (לפי רוב מפרשיו) פון "טיִסיס, אַנטיטיִסיס און סינטעטיס״, וואו אַנטיטיִסיס איז די נעגעישאן פונעם טיִסיס, און סינטעטיס איז די נעגעישאן פון דעם נעגעישאן, אבער דאך נישט דעם טיִסיס - עס איז עפעס ניי. אונז טרעפן מיר טאקע די געדאנק בעצם לגבי מגדיר זיין "ג-ט".

מי אני האט געשריבן:אז מ׳האט אויבן גערעדט אין די געדאנק פון דאָבּל-נעגעישאן לגבי מגדיר זיין ״ג-ט״, איז כידוע דא צוויי סארטן דראָגס: אינהיבּטארי, וואס האלטן צוריק ניוראָטראסמיטארס אינעם מח, און עקסייטעטארי, וואס טוהן דאס פארקערטע. אלקאהאל איז אַן אינהיבּיטארי דראָג וואס (ווי דר. פּאָל בּלום איז דאס מסביר אין די לעקציע [27:06-27:15]) טוהט אינהיבּיטן די אינהיבּיטאָרי חלקים פונעם מח (הגם באמת זענען די חלקים אין ראם פון עקסייטעטארי) וואס האלטן אין אלגעמיין צוריק דעם מענטש, ולכן איז א שיכור ווילדער וכדומה.

ולפי״ז טרעפט מען אזא סארט ענליכן געדאנק פון א דאָבּל-נעגאטיוו ביי יין. האב איך געקלערט אז מ׳קען מיט דעם זאגן א רמז בהגמרא בעירובין סה. א״ר חנינא כל המתפתה ביינו יש בו מדעת קונו ע״ש. והיינו, אז ער פארשטייט די געדאנק פונעם דאָבּל-נעגאטיוו שבהיין, וואס די געדאנק איז לגבי לדעת את קונו וככל הנ״ל. (און דאס קען אויך זיין די רמז דארט פון נכנס יין יצא סוד. און דאס קען אויך זיין די געדאנק פון, סנהדרין ע., חמרא וריחני פקחין.)

איך האב געקלערט ווייטער אז עס איז דא א באקאנטן רמז ביי שתיית יין בפורים אז די (מגילה ז:) מיחייב איניש לבסומי בפוריא עד דלֹא ידע, אז די ווארט "ידע" איז ר"ת ע'ד ד'לא י'דע, ווייל די געדאנק דערין איז אז תכלית הידיעה שנדע שלא נדעך. דאס איז בעצם ווייטער אַן אינפיניט סיִקווענס, וויבאלד בתוך יעדעס "ידע" איז דא אַן "עד דלא ידע", וכן הלאה.

אויך האב איך געקלערט אז דער רמב"ם שרייבט במו"נ (ח"א פס"א) אז שם הוי' ב"ה איז מורה על עצמותו ית' וואס מ'קען דאך נישט משיג זיין און דעריבער אסור לקרוא אותו ע"ש. און אונז טרעפן מיר בנדרים ז: דכל מקום שהזכרת השם מצויה שם עניות מצויה ע"ש. ולהלן שם בדף מא. נקטינן דאין עני אלא בדעה ע"ש. והיינו הרמז אז די שם איז מורה על עצמותו שאי אפשר לדעתו אשר אין ענין "עני", וואס האט א קשר מיט'ן מזכיר זיין דעם שם, אלא בדעה.
דאס קען האבן א קשר מיט מיין חתימה. והא לך לשונו של הנפוצות יהודה (דרוש ט): "והוא שידע בלתי היותו יודע מאומה, כי תכלית מה שנדע שנדע שלא נדע, כמו שהיה סוקרטי הפילוסוף מעיד על עצמו שאחרי בלותו לא היתה לו עדנה בלמוד החכמות זולתי מה שהשיג כי מאומה לא ישא בעמלו שיולך בידו מהידיעה והחכמה", עכ"ל. הגם דאס איז לגבי חכמה הכלליות און נישט לגבי ידיעת ה' דייקא.

מי אני האט געשריבן:דר. פרעד סאממערס פארציילט אז אלס תלמיד פון הגאון הרב דר. סאלאווייטשיק האט ער אים געזאגט, ״איך האב ספיקות איבער דאס מציאות פון ג-ט״. האט ער ארומגעלייגט זיין האנט ארום אים און געזאגט, ״פרעד, אינטעלעקטועלי איז עס 50/50. מ׳דארף גלייבן״.

דר. וויליאם לעין קרעיג זאגט בנוגע זיין דעבאטע מיט דר. קעווין שאַרפּ:

I have no confidence whatsoever in his claim that in order to believe in God I need to have a probability significantly higher than 51%. He gave no argument for that other than just an example. He gave an illustration that he thinks it is 51% probable that Hillary Clinton will win the presidential election. But that is not enough for him to believe that she will win. Well, fine, that is just an illustration. But in many other cases, 51% might be enough for a person to believe in something, especially (as William James pointed out) if this is a pressing conclusion that imposes itself upon you and is a matter of great urgency and importance, William James argued that in a case like that you are perfectly rational to believe in something even without evidence. This is James' famous essay, “The Will to Believe.” This idea that in order to believe something you have to be significantly more than 51% confident in it, I think is person-relative and subjective. For some people that might be true, for other people it might not. For some beliefs it might be true, but for other beliefs (as James said) it may not. I agree – I have no confidence in his argument from confidence!

ולגבי לאגיק און דעדאָקטיוו ארגומענטן בכלל זאגט ער:

Dr. Scharp's seems to think that the probability of the conclusion of a deductive argument cannot be any higher than the probability of the conjunction of the premises. You take the premises together and ask, “How probable is it that all of these premises are true?” And that will give you the probability of the conclusion. That is false in a deductive argument. The probability of the conjunction of the premises only sets a minimum probability for the conclusion. So if the probability of the premises is 51%, all that proves is that the probability of the conclusion cannot be less than 51%

It shows merely that the probability of the conclusion cannot be less than 51%. But it could be much higher. It could be 70, 80, 90%. I think Dr. Scharp was under the misimpression that the conclusion to a deductive argument has a probability which is simply equal to the probability of the conjunction of the premises

דר. פּעטריק קעין שרייבט במשנתו של קאנט:

Allen Wood adduces significant textual evidence which confirms his emphasis upon Kant's conviction that belief in God's existence cannot be morally required, that is, there cannot be a moral obligation to believe that God exists (nor can belief in his existence be justly required by the state). Kant held these convictions out of respect for freedom of conscience, a disdain for hypocrisy, and because they fitted with his belief that the best 'theoretical' evidence and arguments could only establish God's logical possibility, that the concept of God is not self-contradictory. As Wood correctly notes, Kant did suggest that the 'minimum of theology' everyone can be expected to accept is the minimum compatible with this theoretical evidence, that is, that 'it is possible that there is a God', and sometimes claimed that 'religion' does not necessarily involve 'assertoric faith' in God, that is, belief in the existence of God, as opposed to his mere possibility. Thus, it is indeed possible for an agnostic (what Kant liked to call a 'sceptical' as opposed to a 'dogmatic' atheist) to be religious in Kant's sense

Yet, from the claim that religion may not necessarily involve assertoric faith in the existence of God, it does not follow that assertoric faith cannot be rationally required. In fact, Kant consistently asserted that it is. In his lectures on religion in the 1780s, for example, Kant compared the epistemic status of the 'firm conviction' in the postulate of God's existence with that of mathematical axioms

דר. אנטאני ענדערסאן איז מסביר גאָדעל׳ס אנטאלאגישע פּרוּף אויף מציאותו, וועלכע האט 3 דעפיניציעס, 6 אקסיאמען/פּרעמיסעס, און 3 טעארעמס וואס מ׳נעמט ארויס דערפון, אזוי:

אקסיאם 1). אויב א׳ האט א פּראַפּערטי ב׳ און פון א׳ קומט בהכרח אלס אפיר ג׳, דאן האט די ג׳ אויך ב׳. דאס מיינט אז יעדעס פּראַפּערטי וואס קומט אפיר פון א פּאזיטיווע פּראַפּערטי, איז אליינס פּאזיטיוו

אקסיאם 2). אויב די פארקערטע פון עפעס איז נעגאטיוו, דאן איז די עפעס פּאזיטיוו (ענליך צום געזעץ פון עקסקלוּדעד מיטן)

טעארעם 1). אויב א׳ איז א פּאזיטיווע פּראַפּערטי, דאן איז דא א מעגליכקייט אז עפעס מיט די א׳ עקזיסטירט

דערנאך איז ער נחית צו דעפינירן ״ג-ט״/א דיוויין בּיִאיִנג:

דעפיניציע 1). עפעס איז געטליך נאר (בדרך ״↔״) אויב עס האט אלס די עפעס׳ס עסענס ממש נאר (אויך בדרך ״↔״) פאזיטיווע פּראַפּערטיס

אקסיאם 3). געטליכקייט/דיוויניטי איז א פּאזיטיווע פּראַפּערטי

טעארעם 2). דאס שטעלט צאם אקסיאם 3 מיט טעארעם 1: עפעס קען מעגליך עקזיסטירן וואס איז געטליך

דעפיניציע 2). א׳ איז אַן עסענס פון עפעס, נאר אויב פאר יעדעס פּראַפּערטי ב׳ האט עס די עפעס די ב׳ בהכרח נאר אויב א׳ באדייט ב׳

אקסיאם 4). אויב א פּראַפּערטי איז פּאזיטיוו איז עס בהכרח פּאזיטיוו

טעארעם 3). אויב עפעס איז געטליך דאן איז געטליכקייט די עפעס׳ס עסענס ועיקר פּראַפּערטי

דעפיניציע 3). עפעס עקזיסטירט בהכרח נאר אויב יעדעס עסענס פונעם עפעס איז בהכרח

אקסיאם 5). הכרח׳דיגע/מוכרח המציאות איז פּאזיטיוו

די אוספיר דערפון איז אז ג-ט עקזיסטירט.

מ׳האט אויפגעוואוזן מיט א קאמפיוטער אז די לאגיק וואס ער טוהט איז וואליד און האלט אויס אויב נעמט מען אָן די אקסיאמען. די שאלה איז נאר לגבי איר סאַוּנדנעס/קאָדזשענסי.

מענאן בישאף שרייבט אין דעם:

Gödel starts with an axiom—an assumption, in other words: If φ has the property P and from φ always follows ψ, then ψ also has the property P. For simplicity, we can assume that P stands for “positive”. For example:, if a fruit is delicious, a positive property, then it is also fun to eat. Therefore, the fun of eating it is also a positive property

The second axiom further sets a framework for P. If the opposite of something is positive, then that “something” must be negative. Thus, Gödel has divided a world into black and white: Either something is good or bad. For example, if health is good, then a disease must necessarily be bad

With these two premises, Gödel can derive his first theorem: If φ is a positive property, then there is a possibility that an x with property φ exists. That is, it is possible for positive things to exist

Now the mathematician turns for the first time to the definition of a divine being: x is divine if it possesses all positive properties φ. The second axiom ensures that a God defined in this way cannot have negative characteristics (otherwise one would create a contradiction)

The third axiom states that divinity is a positive characteristic. This point is not really arguable because divinity combines all positive characteristics

The second theorem now becomes a bit more concrete: by combining the third axiom (divinity is positive) and the first theorem (there is the possibility that something positive exists), a being x could exist that is divine

Gödel’s goal now is to show in the following steps that God must necessarily exist in the framework that has been laid out. For this purpose, he introduces in the second definition the “essence” φ of an object x, a characteristic property that determines all other characteristics. An illustrative example is “puppylike if something has this property, it is necessarily cute, fluffy and clumsy

The fourth axiom doesn’t seem too exciting at first. It simply states that if something is positive, then it is always positive — no matter the time, situation or place. Being puppylike and tasting good, for example, are always positive, whether during the day or at night in Heidelberg, Germany, or Buenos Aires

Gödel can now formulate the third theorem: if a being x is divine, then divinity is its essential property. This makes sense because if something is divine, it possesses all positive characteristics — and thus the properties of x are fixed

The next step relates to the existence of a particular being. If somewhere at least one being y possesses the property φ, which is the essential property of x, then x also exists. That is, if anything is puppylike, then puppies must also exist

According to the fifth axiom, existence is a positive property. I think most people would agree with that

From this one can now conclude that God exists because this being possesses every positive property, and existence is positive

As it turns out, Gödel’s logical inferences are all correct — even computers have been able to prove that. Nevertheless, these inferences have also drawn criticism. Besides the axioms, which of course can be questioned (why should a world be divisible into “good” and “evil”?), Gödel does not give more details about what a positive property is

It’s true that by means of the definitions and axioms, one can describe the set P mathematically:

1. If a property belongs to the set, its negation is not included. The set is self-contained

2. The fact that the essence of the set has only the characteristics of the set is itself an element of the set. The set always has the same elements — independent of the situation. In this case, the situation is the mathematical model in which the set is contained

3. Existence is part of the set

4. If φ is part of the set, then the property of having φ as the essence of the set is also contained in the set

But all of this does not ensure that this set is unique. There could be multiple collections that satisfy the requirements. For example, as logicians have shown, it is possible to construct cases where, by Gödel’s definition, there are more than 700 divine entities that differ in essence

דר. גרעהעם אַפּיִ טענה׳ט אז אפגעזעהן פון די לאגיק שבו פארמאגט דאס די זעלבע שוואכקייט ווי אנסעלם׳ס אריגינעלע אנטאלאגישע ארגומענט: מ׳קען דאס טענה׳ן אויף א געוואלד סארט ענטיטיס, ווי אויף א פּערפעקט אינזל ווי גאָנילאָ האט גע׳טענה׳ט בשעתו.

***

הקטן האט געשריבן:ס'איז היינט אן אפענע וועלט און ווער ס'וויל לערנען חכמה האט ב"ה אוואו צו גיין.

דר. טאם ניקאלס שרייבט לגבי דאס זילזול כהיום נגד אינטעלעקטשועליזם און reasoning און דאס אויפשטייג פון אנטי-אינטעלעקטשועליזם:

These are dangerous times. Never have so many people had access to so much knowledge, and yet been so resistant to learning anything

וכבר הבאתי מה שאמר היידעגער:

What is most thought-provoking in these thought-provoking times, is that we are still not thinking

‏כמובן קענען עקספּערטן אויך מאכן טעותים, און די טעותים קענען זיין גרעסערע אגב חורפיה לא דק, אבער על הכלל כולו איז עס ק״ו לטיפשים שלא קראו ולא שנו.

עס איז דא אין מאטעמאטיקס דעם געדאנק פון יוּקליד׳ס גן. דאס איז ווען איך האב א געריכט גרעף און אויף יעדעס פונקט דערפון וואו א x איז א גאנצע נומער/אינטעדזשער קומט זיך צאם מיט וואו א y, און אויף דעם לייג איך א ״בוים״. אויב שטייט א מענטש ביים ארידזשין [וואו x און y זענען 0]דאן אויב קוקט ער אויף א סלוֺיפּ, והיינו א שיפקייט פון א געוויסע פּראָפּאָרשען פון ווי הויך עס איז לפי ווי ווייט עס גייט אין די לענג, דאן וועט ער זיך באגעגענען און זעהן א בוים וואס שטייט ביי יענע הויכקייט ביי y און יענע ווייטקייט ביי x. ופשוט. אלע ביימער אונטער דעם אויף די שורה וואס ער קוקט, וועלן זיין בלאקירט פון זיין זיי זעהן. עס קומט אויס אז טאמער די נומער פון די הייך און די נומער פון די ווייטקייט פון זיין זעה ליניע האבן אייניגע פּריים פאקטארן, זענען זיי בהכרח בלאקירט פון זיין זעה ליניע דורך א בוים פריער אינעם זעה ליניע, וואס איז די ״סימפּליפייד״ ווערסיע פון די פרעקשאן, וממילא איז קאָפּריים און האבן נישט אייניגע פּריים פאקטארן.

ועפי״ז קומט אויס אז טאמער אין אזא סארט אינפיניט גן כאפ איך אָן א בוים ביי רענדאם, איז די פּראַבּעבּיליטי אז דאס איז א בוים וואס ער קען זעהן אויפגעוואוזן אז ווען די זעטאַ פאָנקשען איז π²/6, (והיינו 6 דיוויידעד ביי π²), וואס דאס איז די בּעסעל פאָנקשען, ווען איך געב א וועליוּ פון 2 פאר ד זעטאַ פאָנקשען, ζ(2), דהיינו אז יעדע עקספאנענט דערין איז 2. דאס איז ווייל דאס ווייזט די פּראַבּעבּיליטי אז צוויי נומערן זאלן זיין קאָפּריים.

דאס גייט צוזאמען מיט די געדאנק פון אָפּעיק סעטס. דאס איז די מאטעמאטישע שאלה אז ווען איך האב א געוויסע שׁעיפּ, וואס איז די קורצסטע לענג פון ליינס (אלעס צוזאמען) וואס איך קען מאכן דערין, אזוי אז פון וועלכע זייט אימער מ׳זאל נאר מאכן א גראדע ליין אינעם שׁעיפּאין עני ענגעל, וועט עס זיך זיכער באגעגענען אין איינע פון די ליינס איך האב געמאכט דערין פאר'ן דורכגיין דאס גאנצע שׁעיפּ. (עס דערמאנט אביסל פון די אַרט גאַלערי פראבלעם.) מ׳ווייסט אז עס קען נישט זיין לענגער ווי די עצם פּערימעטער פונעם שׁעיפּ, און נישט קורצער ווי האלב די פּערימעטער. דאס איז לדוגמא די קורצסטע אָפּעיק סעט פאר׳ן סקווער וואס מ׳ווייסט; עס האט אלעס צוזאמען א לענג פון בערך 2.639, ביחס ווען דער פּערימעטער דערפון איז 4: ***

לגבי פעקטאָריעלס איז דא סטירלינג'ס עפּראַקסימעישאן. דאס לויטעט אז די פעקטאָריעל פון א געוויסע נומער, איז בערך יענע נומער דיוויידעד ביי e און דערנאך געהעכערט צום עקספּאָנענט פון יענע נומער. דערנאך מאָלטיפּליי דאס ביי די סקווער רוּט פון 2 מאל π טיימס יענע נומער. ווי העכער יענע נומער איז, אלס מער פונקטליך איז די עפּראַקסימעישאן.

***

ולגבי די מעגליכע הוכחה אז עס איז אומעגליך אויפצוווייזן אדער אפרעגן מציאות הא-ל, שרייבט דר. וויליאם פּאָלין אין די קאנטעקסט פונעם פריערדערמאנטן אנטאלאגישן הוכחה און קאנט'ס פירכא דערויף:

‏אויבן האב איך צוגעברענגט דעם בּיינאָמיִעל טעארעם:

מי אני האט געשריבן:עס איז דא דעם געדאנק פון א בּיינוֺימיִעל קאָעפישׁענט. דא הא׳מיר אביסל מסביר געווען דעם געדאנק פון א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן. א בּיינוֺימיִעל עקוועישאן איז פשוט א פּאַליִנוֺימיִעל וואס איז נאר צאמגעשטעלט פון צוויי טערמינען [צוויי מאַנוֺימיִעלס]; יעדעס איינס מיט א געהעריגע נומער [די קאָעפישענט ביי וועלכעס עס איז מאָלטיפּלייד; וואס קען זיין 1, וממילא שרייבט מען נאר ארויס די וועריעבּל], א וועריעבּל [וואס קען זיין געהויבן צו אן עקספּאנענט פון 0, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס], און אן אנדערע (בדרך כלל נאר פאזיטיווע) עקספּאנענט פאר יעדעס איינס [וואס איינע פון זיי קען זיין 1, וממילא שרייבט מען עס נישט ארויס].

אויב האב איך א בּיינוֺימיִעל וואס די גאנצע בּיינוֺימיִעל צוזאם ווערט געהעכערט צו אן עקספּאנענט, והיינו אז איך בין כופל די גאנצע בּיינוֺימיִעל אויף זיך אליין אזויפיל מאל ווי די עקספּאנענט זאגט מיר, גייט דאס ווערן עקספּענדעד אין צו א פּאַליִנוֺימיִעל עקוועישאן [מיט אנדערע עקספּאָנענטס פאר יעדעס איינס]. עס קומט אויס אז פאר יעדעס סארט בּיינוֺימיִעל וואס איך עקספּענד אויף אזא וועג, אויב שטעל איך אויס די רעזאָלטינג פּאַליִנוֺימיִעל וואס קומט ארויס פונעם וועריעבּל וואס האט דעם גרעסטן עקספּאנענט [די דעגריִ] ביז דעם קלענסטן, גייט עס אלס האבן די זעלבע (מאָלטיפּל פון די) קאָעפישענטס ביי יענעם מקום, ווענדענדיג זיך אינעם עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל. דאס ווערט ארויסגעשריבן אזוי:

IMG_8503.jpg

דאס מיינט אז די העכערע נומער [n] איז די עקספּאנענט צו וועלכעס איך האב געהויבן דעם גאנצן אריגינעלן בּיינוֺימיִעל, און די אונטערשטע [k] איז די פלאץ אינעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן דערפון. עס וועט אלס זיין די פעקטאָריעל פונעם עקספּאָנענט דיוויידעד ביי די פעקטאָריעל פונעם פלאץ-נומער נאך דעם וואס איך האב דאס מאָלטיפּלייד ביי די פעקטאָריעל פונעם חילוק צווישן די צוויי נומערן (דאס איז די קאַמבּינעישאן פון דעם). מ׳קען גראד זעהן די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענטס דורך פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל. יעדעס רוֺי דערין איז כנגד די נומער פון די עקספּאנענט צו וואס כ׳האב געהעכערט דעם אריגינעלן בּיינוֺימיִעל [די העכסטע שורה איז אן עקספּאנענט פון 0] און דערנאך, פון רעכטס צו לינקס, זענען די נומערן, אין א רייע, די קאָעפישענטס פון דעם פּאַליִנוֺימיִעל עקספּענשׁאָן. פון דעם קומט אויס פּאַסקאַל׳ס רוּל. דאס זאגט אז די בּיינוֺימיִעל קאָעפישענט פון א נומער וועט זיין די סומע פון די נומער וואס איז אויף דעם זעלבן פלאץ ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער, צוזאמען מיט די נומער וואס איז 1 פלאץ פאר איר ווען די אריגינעלע בּיינוֺימיִעל האט אַן עקספּאנענט וואס איז 1 ווייניגער.

בעוד פרט לויטעט דאס אויך אז ווען איך העכער דעם גאנצן בּיינאָמיעל צו אַן עקספּאָנענט, גייען די צוויי טערמינען דערין האבן יעדעס איינס, ביי יעדעס מאַנאָמיִעל דערין אינעם עקספּענדעד פּאַלינוֺימיִעל, אַן עקספּאָנענט וואס צוזאמען גייען זיי זיין די סומע פונעם עקספּאָנענט צו וועלכעס איך האב געהעכערט דעם גאנצן בּיינאָמיעל. לדוגמא, דא איז די גאנצע בּיינאָמיעל געהעכערט צו 4: מ׳זעהט אז ביי יעדעס מאַנאָמיעל טערמין אינעם עקספּענדעד פּאַלינוֺימיִעל איז די סומע פון די עקספּאָנענטס 4 (אויב איז די y נישטא, מיינט דאס אז עס האט אַן עקספּאָנענט פון 0 וואס מאכט דאס אין צו א געהעריגע 1, וממילא די איבעריגע מאַנאָמיעל טיימס 1, וואס איז דאך דאס זעלבע. ווען די y האט נישט קיין עקספּאָנענט באדייט דאס אַן עקספּאָנענט פון 1, כלומר די נומער גופא).

דאס זענען טאקע די ערשטע זיבן סעטס פון די בּיינאָמיעל קאָעפישענטס (ווי מ׳קען טאקע זעהן אין פּאַסקאַל׳ס טרייענגעל): דא איז א דזשיאמעטריק רעפּרעזענטאציע פון די ערשטע פיר, וואו מ׳קען טאקע זעהן פארוואס דאס איז אזוי (דאס לעצטע איז שווערער צו וויזשועלייזן וויבאלד עס איז שוין בעצם א 4D טעסערעקט): און אז מ׳דערמאנט די סארט וויזשואלע פּרוּפס, איז דאס א וויזשואלע פּרוּף פון ניכאמאכוס׳נס טעארעם: עס דערמאנט אויך פון דעם לגבי אפלטון׳ס נומער.

די זעטאַ פאָנקשען קען מען באטראכטן ווי עס איז א ספּעציעלע קעיס פון א ברייטערע פאמיליע פון פאָנקשענס וואס רופן זיך די דיריכלעט L-פאָנקשענס. דאס אליין זענען א חלק בתוך דיריכלעט סיריִס, וואס דאס אליין איז ווייטער א חלק בתוך דזשענעראל דיריכלעט סיריִס.

א דזשענעראל דיריכלעט סיריִס איז וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. וואס איך עדד צאם ביי יעדעס מקום וואו איך האלט א סיִקווענס פון קאמפּלעקס נומערן וואס איך האב, און איך נוץ די קאמפּלעקס נומער אינעם סיִקווענס ביי וועלכע מעמבּער וואו איך האלט יעצט אינעם דזשענעראל דיריכלעט סיריִס, טיימס אוילער׳ס נומער [e] וואס די e איז אליינס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון א סיִקווענס פון געהעריגע גאנצע נומערן וואס גייט עד אינפיניטי פונעם נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס, וואס יעדעס איינס איז טיימס א קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט. א ״געהעריגע״ דיריכלעט סיריִס וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. וואס איך עדד צאם ביי יעדעס מקום וואו איך האלט א סיִקווענס פון קאמפּלעקס נומערן וואס איך האב, און איך נוץ די קאמפּלעקס נומער אינעם סיִקווענס ביי וועלכע מעמבּער וואו איך האלט יעצט אינעם דיריכלעט סיריִס, דיוויידעד ביי די נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון א געוויסע קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט פאר די סיריִס. די דיריכלעט L-פאָנקשען איז וואו איך האב א סיריִס וואס הייבט זיך אָן ביי 1 ועד אינפיניטי. און וואו איך האלט אין די סיריִס דיווייד איך די נומער וואו איך האלט ביי ביי די נומער געהעכערט צו א קאמפּלעקס נומער איך האב געוועהלט פאר די סיריִס (וואס די ״עכטע״ חלק מוז זיין מער ווי 1). דערנאך ביי יעדעס נומער גיי איך דאס ״וועגן״ ביי א געוויסע ϰ וואס איך האב געוועהלט (די דיריכלעט כאראקטער). דאס איז א פאקטאר וואס מוז אבער זיין מאָלטיפּליקעטיוו, והיינו אז אויב עדד איך די נומער איך וועהל פאר ϰ צום נומער וואו איך האלט יעצט אינעם סיריִס, גייט דאס מיר געבן די זעלבע וועליוּ. עס קומט אויס אז עס מאכט א סארט סייקל ביי די וועליוּס עס געבט מיר. כמובן, ווי העכער די נומער פאר ϰ איז, אלס מער קאמפּליצירט ווערט עס. אויב איז די ϰ אַן 1, דאן איז דאס די געהעריגע זעטאַ פאָנקשען. ביי די דיריכלעט L-פאָנקשען, וואס איז דאך די זעטאַ פאָנקשען בנוסף צום ϰ, איז דא די דזשענעראלייזד ריעמאן היפאטעזיע. דאס לויטעט דאס זעלבע אז נאר וואו די ״עכטע״ חלק פונעם קאמפּלעקס נומער וואס איך נוץ וועט זיין 1/2, נאר דעמאלטס וועט שייך זיין אז די דיריכלעט L-פאָנקשען זאל מיר געבן א (נאַן-טריוויעל) 0.

אויב איז דא א 0 דערביי וואס די ״עכטע״ חלק איז נישט 0, ווערט דאס גערופן א סיגעל זעראָ. עס וועט זיכער נישט קענען זיין ווייניגער ווי 1/2 און עס וועט זיין מער נעבן 1. עפ״י די היִט-ברוין טעארעם קומט אויס אז טאמער עקזיסטירן סיגעל זעראָס איז די צווילינג פּריים קאָנדזשעקטשור, אז עס זענען דא אַן אינפיניט צאל פון פּריימס וואס זענען נאר אפגערוקט מיט איין (איִווען) נומער אינצווישן זיי, בהכרח אמת. דאס איז ווייל כאטש איינע פון די צוויי איז אמת: אדער אז עס זענען דא אינפיניט צווילינג פּריימס אדער אז עס זענען נישטא קיינע סיִגעל זעראָס (עס קען זיין אז ביידע זענען אמת).

***

לגבי די געדאנק פון יוּקליד׳ס פעלד, איז דא די עלענדער לויפער קאנדזשעקטשור. דאס לויטעט אז אויב איז דא א רינדיכיגע טרעק און אויף דעם זענען א צאל לויפערס וואס לויפן כסדר מיט׳ן זעלבן שנעלקייט און יעדער איינער מיט אַן אנדערע שנעלקייט ווי דער צווייטער, דאן וועט בהכרח זיין א צייט פאר יעדעס לויפער ווען ער וועט זיין ווייט פון די אנדערע לויפערס כאטש די פרעקשאן פון וויפיל לויפערס עס זענען דא לפי די טרעק. מיינענדיג, אויב עס זענען דא זעקס לויפערס, וועט ער זיין כאטש א זעקסטל די ווייטקייט פונעם טרעק, ווייט פונעם נענטסטן לויפער. דאס האט א מאטעמאטישע קשר צו די קאנדזשעקטשור אז אויב האב איך סקווערס אין א דיימענשאן, און איך שטעל זיי אויס אין א גרעף ביי יעדעס מקום פון א האלבע נומער, דאן כדי עס זאל זיין שייך אז אויב איך מאך א שיפע ליין זאל עס זיך נישט אריינקלאפּן אין קיין שום איינע פון די סקווערס, דאן קען די אורך ורוחב פון די סקווערס (ביחס/אין טערמינען פונעם גרעף) נישט זיין מער ווי די דיימענשאן נומער מיינוס 1, דיוויידעד ביי די דיימענשאן נומער מיינוס פּלאָס 1. ביי א פשוט׳ע משל פון 2D מיינט דאס אז עס קען נישט זיין מער ווי א דריטל (1/3) די לענג פון איין יוּניט אינעם גרעף.

אביסל ענליך צו דעם קאָלאַץ קאָנדזשעקטשור איז דא דעם דוּטשי סיִקווענס. דאס איז אז איך האב א סיִקווענס פון א צאל נומערן (אַן n-טאָפּל). דערנאך מאך איך א נייעם סיִקווענס פון די זעלבע צאל נומערן, דורך נעמען די חילוק פון יעדעס פון די צוויי נומערן וואס זענען נעבן איינע דאס צווייטן אינעם ערשטן סיִקווענס; איך סאָבּטרעקט די קלענערע פון די גרעסערע. לדוגמא דאס איז א דוּטשי סיִקווענס פון א לענג פון 4 נומערן: די ערשטע נומער אינעם צווייטן סיִקווענס איז 77, וויבאלד דאס איז די חילוק צווישן די צוויי נומערן 99 און 22 וואס זענען נעבן איינע דאס אנדערע אינעם ערשטן סיִקווענס. די צווייטע נומער אינעם צווייטן סיִקווענס איז 96, וויבאלד דאס איז די חילוק צווישן 99 און 3 וואס זענען נעבן איינע דאס אנדערע אינעם ערשטן סיִקווענס. אא״וו.

עס קומט אויס אז אויב איז די לענג/צאל נומערן פונעם דוּטשי סיִקווענס א פּאַוּער פון 2, והיינו אז איך קען אָנקומען צו דעם נומער דורך מאָלטיפּלייען 2 ביי 2 א געוויסע צאל פעמים/העכערן צו אַן עקספּאָנענט, דאן ווען איך טוה איבער און איבער די פראצעדור פון באקומען א נייע דוּטשי סיִקווענס, וועט זיך דאס אלס ענדיגן וואו אלע נומערן דערין זענען 0. אויב איז די צאל נומערן פונעם דוּטשי סיִקווענס אַן אנדערע נומער, וועט זיך דאס אדער ענדיגן וואו אלע נומערן זענען 0, אדער מיט א סייקל וואו עס גייט איבער וואו אפאר נומערן דערין זענען 0 און די אנדערע נומערן דערין זענען איין/זעלבע אנדערע נומער.

מי אני האט געשריבן:אז מ׳האט דערמאנט גראַנדי׳ס סיריִס בנוגע רעליגיע האב איך געקלערט ענליך אז דא [פון 1:50] איז מען מסביר, עפ״י דר. אנטאני פלוּ, אז ס׳איז יתכן לומר אז דער אטעאיסט און דער טעאיסט זאגן בעצם די זעלבע זאך אויף למעשה (עכ״פ לגבי די אביעקטיווע וועלט ממש). דאס איז נאך מער עפ״י א שטארקע מהלך פון טעאיסטישע נעגאטיווע טעאלאגיע. און ווי אונז האבן דא אראפגעברענגט:

מי אני האט געשריבן:דאס דערמאנט פון דעם פראנצויזישן טעאלאג מישעל דע סערטעא'ס מימרא:

The weight of [God's] transcendence makes any proposition relative, even to the point that the statement "God exists" has to be followed by a denial

והיינו, אז עס קומט אויס אז לגבי דאס פּראפּאזישאן אן פון דאס ״עקזיסטענץ״ פון ג-ט איז עס כעין 1 - 1 [איינס מיינוס איינס; פּאזיטיוו 1 און דערנאך צוגעלייגט צו דעם נעגאטיוו 1], און דער אטעאיסט זאגט דאך מעיקרא אויף דעם א גאנצע 0. איז די שאלה דא צי ביי די פאל איז 1-1 ≠ 0 אדער יא 1-1 = 0 ווי ביי געהעריגע מאטעמאטיקס? מיינענדיג, איז עס טאקע די זעלבע ווי דער אטעאיסט (עכ״פ בעלמא הדין) צי נישט?

כ׳האב געקלערט, אפשר בדרך צחות, אז קצת כעין זה טרעפט מען ביי קידושין באבה״ע סימן לא סעיף ז, עפ״י הגמרא בקידושין ז:, אז אמר לה התקדשי לי שני חצייך בפרוטה הרי זו ספק מקודשת ע״ש (ועיין בתוס׳ שם בקידושין ד״ה חצייך ובב״ש ס״ק טו). קומט אויס אז ביי קידושין איז 1/1 ≠ 2/2. והיינו, אז וואו ער איז מקדש די 1 גאנצע מיט א פרוטה איז גוט ווייל ער האט איר מקדש געווען אינגאנצן, משא״כ וואו ער צוטיילט די קידושין אין 2, ואפילו וואו ער נעמט די 2 בבת אחת ממש (2/2) איז נישט גוט. ואפשר לומר אז די געדאנק איז לרמז אז ביי ג-ט וואו כי ״קדוש״ אני (ועיין לעיל בדף ב: אודות לישנא דרבנן של ״קידושין״ באירוסין כי הקדש), קען נישט זיין קיין סתירה צו אחדות ואפילו וואו עס זענען אלע חלקים אויף אמאל.

נישט ממש, גאט ב"ה איז 'קדוש' אבער נישט 'מקודש' - ווי די לשון קידושין באדייט. אויב עפעס קען מען עס אפשר מדמה זיין צו כנ"י וואס איז 'מקודש' להקב"ה (קדושים תהיו) אז אפי' מ'עקסעפט יעדע איד עקסטער בבת אחת איז עס נאך אלס נישט גוט ווילאנג מ'עקסעפט נישט יעדער ווי איינער. עפעס אזוי...
די אשה כלפי בעלה אידאך ווי כנ"י לגבי הקב"ה.

ווי געזאגט איז עס בדרך צחות. איך האב מיך פארלאזט אויפ'ן ספרא בריש פ' קדושים:

כי קדוש אני ה' אלקיכם, לומר אם מקדישים (ס"א מקדשים) אתם עצמכם מעלה אני עליכם כאילו קדשתם אותי. ואם אין אתם מקדישים (ס"א מקדשים) עצמכם מעלה אני עליכם כאילו לא קדשתם אותי.

איך פארשטיי אז, כמובן, איז עס נישט דאס זעלבע. עס איז א טייטש אזא.

אינטרעסאנטע ספרי.
איך האב אזוי הנאה געהאט פון דיין פשט אז כ'האב שוין אנגעפאנגן פלעכטן דערמיט די נעקסטע שבת-שבע-ברכות-דרשה, אבער זעענדיג אז (כפי הנראה) שטימט עס נישט האב איך עס ריפלעיס"ד מיט כלל ישראל.

אבער יעצט מיטן ספרי זעמיר פלעקסיבל, אויב איז מען אין די מוד פון חב''דסקע תורות איבער אחדות הבורא וכו' העט מען ניצן דיין פשט, ווידער אויב וויל מען אריין אין קאליבאך-ברסלב-קאזניץ מאוד האט מען אויך מיין פשט...

אויב האב איך על הסדר א סיִקווענס ביז א געוויסע נומער, איז די סעלעם-ספּענסער סעט דערפון די צאל נומערן איך קען ארויסנעמען דערפון אזוי אז קיין איינע פון דריי נומערן אין דעם סעט צוזאמען וועלן שאפן א סיִקווענס וואס די דיפערענץ צווישן זיי איז דאס זעלבע (אַן אַריטמעטיק סיִקווענס/פּראגרעשאן). אויב שטעלט מען אויס א סיִקווענס וואס זאל אזוי אויסקומען אז ביי יעדעס נייע נומער איך לייג צו דערצו בב"ת, מאך איך זיכער אז עס זאל נישט שאפן קיין אַריטמעטיק סיִקווענס/פּראגרעשאן מיט אנדערע צוויי נומערן וואס זענען שוין אינעם סיִקווענס, דאן ווערט דאס גערופן א סטענלי סיִקווענס.

לעאנהערד אוילער האט אויפגעוואוזן אז די סיִקווענס פון קיוּבּיק נומערן (והיינו, גאנצע נומערן וואס מ'באקומט דורכ'ן כופל זיין א נומער אויף זיך אליינס נאך צוויי מאל, כעין 3³=3x3x3=9) וועט נישט זיין דערין עני דריי נומערן וואס צווישן זיי איז דא דאס זעלבע דיפערענץ.

***

דר. מאריא פּאנטאפּידאן שרייבט במשנתו של פּלאטינוס:

There is nothing that we can say about the One, exactly because it is the perfect unity. Saying anything substantial about it would be to impose upon it a division. You may not even say that it is, since it is “beyond being”. It should be stressed that the One is not Plotinus’ conception of a god. It is, so to speak, not only beyond being, but also beyond divinity!

***
די וויץ זאגט:
I ate some pie

והיינו:
1 -√ = i
2³=8
Σ=sum
π=pi

***

דר. ריטשערד דאָקינס שרייבט אין זיין רעצענזיע אויף דר. עלען סאָקאל און דר. זשאן בּריקמאנט׳ס בוך איבער׳ן קריטיק קעגן דעם פסיכיאטאר זשאַק לאקאן:

מי אני האט געשריבן:און אז מ׳האט דערמאנט די געדאנק פון גאָדעל׳ס טעארעם, וואס צייגט טאקע אויף די געדאנק פון אומעגליכקייט אלעס צו דערגיין בתוך א סיסטעם, שרייבט דער מאטעמאטיקער דר. דזשעימס סטיין אז עס איז יתכן אז עס איז דא א פּרוּף וואס צייגט אויף דאס אומעגליכקייט צו אויפווייזן אדער אפפרעגן מציאת הא-ל (איינמאל מ׳האט דעפינירט די פּראַפּערטיס פונעם מושג ״ג-ט״):

Both sides [theism and atheism] have been so busy trying to construct proofs supporting their case that it seems to me they have overlooked the obvious. Once the attributes of a deity are precisely defined, there may be a proof that it is impossible to prove the existence or nonexistence of such a deity. Alternatively, the deity hypothesis may possibly be shown to be independent of a set of philosophical axioms, adjoining either the deity hypothesis or its negation to those axioms leads to a consistent axiom set

דר. אהרן סעגאל, א תלמיד פון דר. עלווין פּלאנטינגא, זאגט אין א שמועס מיט דר. דוד באשעווקין לגבי א הוכחה אויף מציאות הא-ל: זיי דערמאנען דעם געדאנק פון גאָדעל'ס טעארעמס.

***

און איבער די קשר צווישן מאטעמאטיקס און טעאלאגיע שרייבט ר' שם טוב אבן פלקירה און זיין ספר המבקש:

איך האב מורא'דיג הנאה געהאט פון עלען בּעקער'ס ענימעישאן איבער'ן מלחמה מיט אוילער'ס אידענטיטעט. זייער קונצליך! נעקסט לעוועל!

דא, דא, דא, און דא צונעמט מען דאס מיט הסברה.

עס איז דא די געדאנק פון א פלאָר פאָנקשען און דאס פארקערטע דערפון א דאַך פאָנקשען. א פלאָר פאָנקשען איז ווען איך האב א נומער, צב״ש ⌊2.4⌋ איז וויל איך וויסן די גרעסטע גאנצע נומער/אינטעדזשער וואס איז נישט גרעסער דערפון, וואס אין די פאל איז דאס 2 (אזא סארט ראַוּנדן אראפ). א דאַך פאָנקשען איז פארקערט: ווען איך האב לדוגמא ⌈2.4⌉, דאן וויל דאס וויסן די קלענסטע גאנצע נומער/אינטעדזשער וואס איז גרעסער דערפון, וואס אין די פאל איז דאס 3 (אזא סארט ראַוּנדן ארויף).

ובזה איז דא הערמייט׳ס אידענטיטעט: דאס לויטעט אז אויב וועהל איך א גאנצע נומער/אינטעדזשער און איך גיי מאכן א סיריִס אָנגעהויבן פון 0 ביז איינס ווייניגער ווי דעם אינטעדזשער, און ביי יעדעס מקום וואו איך האלט אינעם סיריִס וואס איך עדד צאם וועל איך דיוויידן די נומער/אינטעדזשער וואו איך האלט ביי די נומער איך האב געוועהלט און דאס צולייגן צו דאס זעלבע עני (עכטע אפילו נישט גאנצע נומער) איך האב געוועהלט מעיקרא און נעמען די פלאָר פאָנקשען דערפון, און דאס אלעס דערנאך צאמעדדן, וועט דאס אויסקומען צו די פלאָר פאָנקשען פונעם פּראדוקט ווען איך מאָלטיפּליי די אינטעדזשער איך האב געוועהלט מעיקרא טיימס די עני עכטע אפילו נישט גאנצע נומער איך האב געוועהלט מעיקרא.

אוילער'ס נומער e, שהיא 2.71828..., איז דאס זעלבע ווי ווען איך נעם די סיריִס פון 0 ביז אינפיניטי, און ביי יעדעס נומער ווי איך האלט דיווייד איך יענע נומער ביי די פעקטאריעל פון יענע נומער. און אזוי טוה איך ביז אינפיניטי לעולם און די סומע פון דאס אלעס איז e. די אינטרעסאנטע זאך איז אז ווען איך דיווייד ביי יעדעס פלאץ וואו איך האלט די נומער 1 ביי די פעקטאריעל פון יענע נומער וואו איך האלט יעצט, און איך עדד דאס אלעס צאם עד אינפיניטי, גייט דאס אויך זיין e.

עס איז דא דעם געדאנק פון א דיווייזאר פאָנקשען. דאס איז א סיריִס וואו איך וועהל א נומער און איך וועהל אַן עקספּאָנענט. אלע נומערן ביז די נומער איך האב געוועהלט, וואס קענען דיוויידן דעם נומער אָן א רימעינדאר, באקומען דעם עקספּאָנענט. דערנאך עדד איך זיי אלע צאם. (אויב איז עס ביז די נומער ולא עד בכלל, ווערט דאס גערופן אַן עליקאַט סומע.) דאס איז נאטירט (על הכלל) כזה: אינעם ריעמאן היפּאטעזיע איז דא דעם ראַבּין-לאַגאַריאַס טעארעם. דאס לויטעט אז דאס ריעמאן היפּאטעזיע איז דאס זעלבע ווי זאגן אז אויב האב איך די נאטורליכע לאַגעריטם (מיט א בּעיס פון e) א האַרמאַניק נומער, וואס דאס איז די סומע פון די האַרמאַניק סיריִס פון די רעסיפּרעקעלס פון די נומערן על הסדר ביז יענעם נומער, טיימס e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פון אט דעם האַרמאַניק נומער, און איך לייג צו דערצו דעם האַרמאַניק נומער, גייט דאס אלס זיין דאס זעלבע צי גרעסער ווי די דיווייזאר פאָנקשען פון אט דעם נומער. *

ובנוגע האַרמאַניק נומערן קומט אויס אז עפ״י זיפּף׳ס געזעץ אויב א שפראך האט א געוויסע סומע ווערטער, וועט די פריקווענסי דאס באנוץ פון די מערסטע באנוצטע ווערטער זיין די האַרמאַניק נומער פון די סומע פון מערסטע באנוצטע ווערטער, דיוויידעד ביי די האַרמאַניק נומער פון די צאל ווערטער אינעם שפראך.

לגבי האַרמאַניק סיריִס איז דא דאס אוילער קאַנסטענט (נישט די אוילער נומער e). דאס איז ווען איך רעכען די האַרמאַניק סיריִס אָנגעהויבן פון 1 ביז א געוויסע נומער, און איך לייג דערנאך צו צו די סומע די נעגאטיוו וועליוּ פון די נאטורליכע לאַגעריטם (מיט א בּעיס פון e) פון די געוויסע נומער איך האב געוועהלט, דאן ביי די לימיט וואו די געוויסע נומער קומט שוין צו צו אינפיניטי, וועט דאס זיין 0.57721… דאס ווערט נאטירט אלס γ.

מ׳ווייסט נישט צי דאס איז למעשה א רעשאנעל נומער צי נישט, און טאמער דאס איז אַן איראציאנאלע נומער צי עס איז טראַנסעדענטעל.

עס איז אויך דא דערין די מייסעל-מערטענס קאַנסטענט. דאס איז ווען איך נעם די האַרמאַניק סיריִס אבער נאר פון די פּריימס ביז א געוויסע נומער. און איך נעם אוועק פון די סומע די נאטורליכע לאַגעריטם פון די נאטורליכע לאַגעריטם פון יענעם נומער. ביי די לימיט וואו די געוויסע נומער ביז וואו איך נעם די האַרמאַניק סיריִס גרייכט אינפיניטי, איז דאס די קאַנסטענט פון 0.26149…

דאס איז דאס זעלבע וואו ווען איך נעם א סיריִס פון אלע פּריימס און ביי יעדעס פּריים וואו איך האלט אין די סיריִס טוה איך מקודם כזה: איך נעם די נאטורליכע לאַגעריטם פון 1 פון וועלכע איך סאָבּטרעקט 1 דיוויידעד ביי דעם פּריים. דערנאך לייג איך צו דערצו 1 דיוויידעד ביי דעם פּריים. ולאחר וואס איך נעם די גאנצע סיריִס, לייג איך צו דערצו אוילער׳ס קאַנסטענט הנ״ל.

ובתוך דאס אלעס זענען דא מערטען׳ס דריי טעארעמס. דאס ערשטע איז אז ווען איך נעם א סיריִס פון פּריימס ביז א געוויסע נומער, און די געוויסע נומער איז כאטש 2 אדער מער, און איך נעם די סיריִס כזה: ביי יעדעס פּריים וואו איך האלט נעם איך די נאטורליכע לאַגעריטם פונעם פּריים און איך דיווייד דאס ביי דעם פּריים, און איך נעם דערנאך אוועק פונעם סיריִס די נאטורליכע לאַגעריטם פונעם נומער וואס איך האב געוועהלט. דאן גייט די אַבּסאַלוט וועליוּ, וואו איך קוק נישט אויב ס׳איז נעגאטיוו אדער פּאזיטיוו, קיינמאל נישט זיין מער ווי 2.

דאס צווייטע טעארעם לויטעט אז ווען איך נעם די האַרמאַניק סיריִס פון פּריימס ביז א געוויסע נומער, און איך נעם אוועק דערפון די נאטורליכע לאַגעריטם פון די נאטורליכע לאַגעריטם פון יענעם נומער, און איך נעם אוועק דערפון די מייסעל-מערטענס קאַנסטענט, דאן גייט די לימיט וואו ווען די געוויסע געוועהלטע נומער גרייכט אינפיניטי, זיין 0.

דאס דריטע טעארעם לויטעט אז ווען איך נעם די מאָלטיפּליקעטיוו סיריִס, וואו איך מאָלטיפּליי זיי אלע אנשטאטס עדד, פון די פּריימס ביז א געוויסע נומער כזה: 1 פון וועלכע איך סאָבּטרעקט 1 דיוויידעד ביי דעם פּריים וואו איך האלט, און דערנאך מאָלטיפּליי איך די סיריִס וואס איך באקום ביי די נאטורליכע לאַגעריטם פון יענעם נומער ביז וואו איך האב געוועהלט, דאן בי די לימיט וואו יענע נומער גרייכט אינפיניטי וועט דאס אויסקומען צו e געהעכערט צו אַן עקספּאָנענט פונעם אוילער קאַנסטענט.

עס איז אינטרעסאנט אז ווען גוּגל האט געבּיד פאר די נאָרטעל קאמפּאני, האבן זיי אריינגעגעבן דריי בּידס, אין מיליאנען, מיוסד אויף בּרוּן׳ס קאנסטענט, דעם מייסעל-מערטענס קאַנסטענט, און π.

לגבי ‫ראמאנוזשאן סאָמעישאן‬ מיט הילבּערט׳ס האטעל, פונעם פיזיקער דר. מארטין בּויער: ולגבי קאָלמאָגאָראָוו קאמפּלעקסיטי:

עס איז אינטרעסאנט צו באמערקן אז דער דייטשער פילאזאף גאטלאב ערנסט שולזע האט געגעבן פאר "אמת" און "פילאזאפיע" א מער קאלקולוס סארט דעפיניציע: דאס איז ענליך צו די געדאנק לגבי משיח און תוארי השלילה על הקב"ה וענין חכמה.

דער מאטעמאטיקער דר. ענדרוּ גרענוויל זאגט, בנוגע די פילאזאפיע פון מאטעמאטיקס און דאס סאָשׁעל קאַנסטראָקשעניזם וואס איז דא אפילו דערין:

when the Riemann hypothesis first appeared in a paper in 1859, it was like magic: Here’s this amazing conjecture, out of nowhere. For 70 years, people talked about what a great thinker can do by pure thought alone. Then the mathematician Carl Siegel found Riemann’s scratch notes in the Göttingen archives. Riemann had actually done pages of calculations of zeros of the Riemann zeta function. Siegel’s famous words were, “So much for pure thought alone”

***

ס'איז מערקווידיג ווי שלמה מימון, אין זיין גבעת המורה על המו"נ ח"א פ"ב שרייבט אז ווילאנג א זאך איז נאר בשכל און די גדר דערפון באשטייט פון צוויי באשטיינדלען, קען מען נאר זאגן אז די זאך איז נאר מעגליך דורך א דאָבּל-נעגעישאן - עס איז "נישט נישט מעגליך". דאס איז וויבאלד עס איז יתכן אז די צוויי באשטיינדלען זענען זיך סותר איינע דאס צווייטע. וממילא מוז מען דאס געבן א שוואכערע מעגליכקייט, ווי איידער א פילע פּאזיטיווע מעגליכקייט.

דר. נאָרמאן לעווינסאן האט אויפגעוואוזן אז מער ווי א דריטל פון די זעראָס פונעם ריעמאן זעטאַ פאָנקשען ליגן זיכער אויפ׳ן קריטיקעל ליניע (וואו די עכטע חלק איז 1/2); אזוי ווי די ריעמאן היפאטעזיע לויטעט פאר אלע.

(קהלת ד יב) ואם יתקפו האחד השנים יעמדו נגדו והחוט המשולש לא וגו'. א ״שליש״ פון די ״לא״ [זעראס], וואס זייער עכטע חלק איז ״שנים נגד אחד״ [1/2], זענען זיכער אויפ׳ן (קריטיקעל) ״חוט״…

ובזה קען מען אפשר אויך זאגן א רמז אינעם פסוק (ישעיה מז ח-ט) האמרה בלבבה אני "ואפסי" עוד וגו' ותבאנה לך שתי אלה רגע ביום אחד וגו'. והיינו, אז די "אפס" [זעראָס] זענען דורך "שתי אלה רגע ביום אחד", וואו עס איז אחד משנים, 1/2, די עכטע חלק…

בנוגע דעם בּיינוֺימיִעל טעארעם איז דא דעם געדאנק פון בּעל נומערן. דאס איז די צאל פון וויפיל וועגן איך קען גרופירן א סעט מיט א געוויסע צאל עלעמענטן; איך דארף נישט נעמען אלע. למשל, ווען איך האב 5 עלעמענטן, דאן איז די בּעל נומער דערפון 52, וויבאלד עס זענען דא 52 אנדערע וועגן דאס צו צוטיילן און גרופירן: דאס קען מען געוואור ווערן דורך אויסשטעלן א טרייענגעל וואס מ׳רופט דעם בּעל טרייענגעל. איך הייב אָן דעם ערשטן שורה מיט 1. דערנאך אונטער דעם הייב איך אָן דעם נעקסטן שורה מיט 1, וואס איז די סוף פונעם פריערדיגן שורה, און איך עדד צאם די נומערן וואס זענען איינס העכער דעם צווייטן; 1+1 און איך לייג די 2. מיט דעם ענדיגט זיך דאך די צווייטע שורה. און מיט 2 הייב איך אָן די דריטע שורה, און איך עדד צאם 2+1 וואס איך העכער איר און איך לייג די 3 אונטער דעם 2 פונעם צווייטן שורה און איך עדד זיי צאם. און די 5 לייג איך נעבן דעם, און מיט דעם הייבט זיך אָן די פערטע שורה. און אזוי גיי איך ווייטער און ווייטער. די לעצטע נומערן פון יעדע שורה זענען די בּעל נומער פאר יענע מספר שורה: דאס גייט שטימען מיט די סיריִס וואו איך הייב אָן פון 0 ביז איינס ווייניגער ווי די מספר פון די בּעל נומער איך וויל געוואור ווערן. דערנאך, ביי יעדעס נומער פון 0 ביז אהין, נעם איך די (פעקטאָריעל) קאַמבּינעישאן פון די איינס ווייניגער ווי די מספר פון די בּעל נומער איך וויל געוואור ווערן, ביי די נומער וואו איך האלט (פון 0 ביז אהין), און איך מאָלטיפּליי דאס ביי די בּעל נומער פון די נומער וואו איך האלט יעצט.

לגבי פעקטאָריעלס איז דא דעם געדאנק פון א פעקטאָריאַן. דאס איז אז איך האב א נומער (אין א געוויסע בּעיס) וואס ווען איך עדד צאם די פעקטאָריעלס פון אירע דידזשיטס, וועט עס אויסקומען צו טאקע דעם עצם נומער. אין בּעיס-10 זענען נאר דא פיר אזעלכע נומערן.

לגבי דעם אז לגבי תוארי הא-ל איז א דאָבּל-נעגאטיוו נישט קיין פּאזיטיוו, זענען דר. משה הלברטל און דר. אבישי מרגלית דאס מסביר: ולגבי דעם דעם קשר צווישן מאטעמאטיקס און טעאלאגיע, און אז לפי גאָדעל׳ס טעארעמס איז יתכן אז מ׳קען אויפווייזן אז עס איז אומעגליך אויפצואווויזן אדער אפפרעגן מציאות הא-ל, האט דער פיזיקער דר. דזשאן דוד בּערוֺי געשריבן:

If a 'religion' is defined to be a system of ideas that contains unprovable statements, then Gödel taught us that mathematics is not only a religion, it is the only religion that can prove itself to be one

ער האט אויך געשריבן לגבי די יוּניווערס בכלליות, וואס ער האט טערמינט דעם ״גראַוּטשאָ-מאַרקס עפעקט/פּאראדאקס״. דאס לויטעט אז ״א יוּניווערס וואס איז גענוג פשוט אז מ׳זאל דאס קענען פארשטיין לגמרי [ע״י פיזיקס], איז צי פשוט צו קענען זיין ביכולת צו פראדוצירן א שכל וואס זאל זיין ביכולת דאס צו פארשטיין.״

כמובן, קען מען דאס עפּלייען לגבי די געדאנק פון ״ג-ט״ אויך.

דער מאטעמאטיקער דר. בּערנד איינפעלדט טענה׳ט אז די טעארעמס פון גאָדעל האלטן נאר לגבי נומערן וואס זענען דאך אינפיניט. אבער דאס איז ל״ד ביי פיניט נומער סיסטעמען. ומאן יימר אז מ׳קען נישט דעסקרייבּן די יוּניווערס און פיזישע וועלט מיט אזא סארט נומער סיסטעם?