סקווער׳ן דעם סקווער

די סקווער׳ן דעם סקווער פראבלעם איז ווי אזוי צאמצושטעלן א פונקטליכע צוויי-דיממענשאנעל סקווער, מיט אלע זייטן אן אייניגן גאנצע נומער [נישט פרעקשאן וכו׳; א פאזיטיווע אינטעדזשער/נאטורליכע נומער (עיין באשכול זו ובתגובה זו שם)] לענג, דורך קלענערע סקווערס (אויך מיט א גאנצע-נומער לענג). דאס דארף זיין אינגאנצן אנגעפולט אזוי אז עס זאל נישט זיין דערין קיין שום חלל.

אויב פארלאנגט מען דאס זאל זיין ״פּערפעקט״ פארלאנגט זיך אז יעדע פון די קליינע סקווערס וואס שטעלן צאם די גרויסע סקווער זאלן זיין אנדערע לענגס/ברייטס. און אויב פארלאנגט מען אז דאס זאל זיין ״פשוט״ פארלאנגט מען אז אינעם גרויסן סקווער זאלן קיין איינע פון די קליינע סקווערס דערין צוזאמען נישט פארעמען א רעקטענגעל.



דאס איז א פּערפעקטע פשוט׳ע סקווערד סקווער וואס נוצט די קלענסטע צאל פון אינערליכע סקווערס [21; איר ״אָרדער״]. איר לענג און ברייט איז 112. מ׳קען מאכן צוויי אנדערע פּערפעקטע פשוט׳ע סקווערד סקווערס וואס זייער לענג און ברייט איז 110, אבער דעמאלטס וועט מען דארפ׳ן נוצן 22 אינערליכע סקווערס.

מ׳קען דאס נאר טוהן אין צוויי-דיימענשאנס. די זעלבע זאך צו טוהן מיט א קיוּבּ, דהיינו צאמשטעלן א דריי-דיימענשאנעל קיוּבּ מיט קלענערע קיוּבּס וואס אלע האבן אנדערע גאנצע-נומער לענג, בּרייט, און הויכקייטן, איז אומעגליך. דאס איז גראדע אפילו אויב די גרעסערע דריי-דיימענשאנעל קיוּבּ וואס איך וויל צאמשטעלן אזוי איז נישט ממש א קיוּבּ נאר עס איז א דריי-דיימענשאנעל רעקטענגעל [קיוּבּוֺיד].

‏ועיין כאן בענין דעם דזשיאמעטרישן פראבלעם פון נישט זיין ביכולת צו מאכן סתם אזוי פון א סירקעל א סקווער מיט די אייניגע עריע; סקווער׳ן דעם סירקעל.

זייער אינטערסאנט.

עס ליגט מיר אין קאפ עס איז נישטא קיין גוטע פארמילא צו אויסרעכענן די בעסטע וועג צו אריינלייגן קלענערע באקסעס אין א גרויסע. דאס איז בערך אין די זעלבע משפחה.

דאס איז בתוך די אפּטימעל פּעקינג פעלד (וג״כ בתוך טיילינג)בתוך מאטעמאטיקס, וואס גיבט זיך אפ מיט׳ן טרעפן דזשיאמעטרישע פארמולאס וכו׳ ווי אזוי אריינצולייגן די מערסטע איין סארט שׁעיפּ בתוך א גרעסערע (וואס קען זיין אן אנדערע שׁעיפּ); דאס קען אנגיין סיי ביי צוויי-דיימענשאנס און סיי ביי דריי (ואפילו מער).

אין די פאל איז דאס אביסל מקושר צו דעם, דערווייל נאך נישט מפותר׳דיגן, פראבלעם פון טרעפן א פארמולא פון ווי אזוי איך קען אריינלייגן די מערסטע סקווערס וואס אלע האבן אן אייניגן לענג און ברייט (לא׳מיר זאגן א לענג/ברייט פון 1 פראפארציאנאל צום לענג/ברייט פונעם גרעסערן) אין א גרעסערן סקווער וואס האט נישט א גאנצע-נומער/אינטעדזשער לענג/ברייט. אין אנדערע ווערטער צו טרעפן א פארמולא וכו׳ ווי אזוי דאס אריינצופאקן דערין די מערסטע סקווערס מעגליך, וואס לאזט איבער די ווייניגסטע געשווענדעטע איבערגעבליבענע פלאץ. מיינענדיג, איז דא א פארמולא וכו׳ וואס איז מקשר די וואוקס פון די נישט-גאנצע נומער לענג/ברייט פונעם גרויסן, צו ווי סאך איבערגעבליבענע פלאץ וועט ווערן געשווענדעט? אָווערסימפּליפייד, אבער דאס איז די בּעיסיק געדאנק.

ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

גראדע, אין דעם איז דא קעפּלער׳ס קאנדזשעקטשור. דאס איז היינט-צו-טאגס מאטעמאטיש אויפגעוואוזען אז די וועג ווי אזוי מ׳טוהט בסתם פּאַקן (אין דריי-דיימענשאנס) ספערס [בּאָליס, וואס זענען די זעלבע סייז], אז יעדעס איינס זאל אריינגיין אביסל אינעם חלל פון די דריי ספערס אונטער דעם, כזה:



איז די מערסטע עפישׁענט וועג, און שווענדעט דאס ווייניגסטע פלאץ. אין אלגעמיין טוהט דאס אויסנוצן כמעט 75% פון די פלאץ עוועילעבּעל. דאס איז די וועג ווי אזוי וועירהויז ארבעטערס און (פרוכט) געשעפטסלייט האבן דאס אלס בסתם געטוהן פּאַקן...

הדסים האט געשריבן:ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

אינטרעסאנט, דער דאזיגער פראבלעם איז מיר שוין איינמאל אויסגעקומען למעשה, איך האב געדארפט נוצן פארשידענע אלגאריטמס, עס איז נישט דא קיין 100% אפטימאל אלגאריטעם, אבער עס איז דא גענוג פאר וויפיל עס איז נוגע למעשה. (איך רעד נישט פון ברוט-פארסינג).

ואין בידי להאריך כעת.

Sent from my SM-G960U1 using Tapatalk

אינטערסאנטע זאך.
גראדע קען מען עס יא מאכן מיט א דריי דימענשענעל קיוב טאמער נוצט מען נאר צוויי סייזעס דהיינו איין גרויסע ביים עק און די איבעריגע וועלן אנפילן דעם חלל.

ענליך צו דעם איז דא אין (ריקריעישאנעל) מאטעמאטיקס די מאַנדריען אַרט פּאָזעלס. דאס איז מיוסד אויף דעם ארטיסט פּיעט מאַנדריען׳ס אַרט, וואו ער פלעגט מאָלן אויף א (סקווער) קאנוואס אסאך פאָרעמעס פון סקווערס/רעקטענגעלס. די פראגע ארבעט אז אויב האט מען א סקווער (דייקא) פון א געוויסע לענג/ברייט, ווי אזוי קען מען אנפולען די גאנצע סקווער מיט סקווערס אדער רעקטענגעלס, וואס יעדעס איינס איז אנדערש, אזוי אז די ״סקאָר״ זאל זיין ווי קלענער. די ״סקאָר״ דא מיינט אז ווען איך רעכען צאם די דיפערענץ פון די עריע פון די גרעסטע רעקטענגעל/סקווער און די עריע פון די קלענסטע רעקטענגעל/סקווער גענוצט [די גרעסטע מיינוס די קלענסטע] בתוך דעם גרויסן סקווער, זאל דאס זיין די קלענסטע נומער מעגליך.

א דוגמא פון זיין אַרט אויף וואס די פּאָזעל איז באזירט:

הדסים האט געשריבן:ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

הדסים:בדרך כלל. וועירהאוז ארבעטער האבן נישט קיין עדווענסט דעגרי אין מאטעמאטיקס. די וועלכע האבן יא אזא דעגרי זיצן אדער אין די קאמפעני אפיס. אדער אין א הייסקול אלס אינסטרוקטארס.

די וועירהאוז ארבעטער זיצן ענדערש אויפ'ן היי-לאו טרעקל. און זיי האבן פאן ארומפאנדיג אין ריזיגן וועירהאוז...און זיי רעדן ספאניש אדער פויליש...!

berlbalaguleh האט געשריבן:

הדסים האט געשריבן:ביזדערווייל בלייבט נאך איבער עפעס פאר די וועירהאוז ארבעטער צו טראכטן.

הדסים:בדרך כלל. וועירהאוז ארבעטער האבן נישט קיין עדווענסט דעגרי אין מאטעמאטיקס. די וועלכע האבן יא אזא דעגרי זיצן אדער אין די קאמפעני אפיס. אדער אין א הייסקול אלס אינסטרוקטארס.

די וועירהאוז ארבעטער זיצן ענדערש אויפ'ן היי-לאו טרעקל. און זיי האבן פאן ארומפאנדיג אין ריזיגן וועירהאוז...און זיי רעדן ספאניש אדער פויליש...!

איך פארשטיי זיי דארפן נישט מאכן די חשבונות...

אבער אויב וואלט געווען א גוטע מהלך וואלט די פראגראם זיי געזאגט פונקטלעך וועלכע באקס צו נעמען ווען, יעצט דארפן זיי א טראפ נוצן די שכל וויאזוי צו פאקן.

הדסים: ביז דערווייל איז נאכנישט דא די טעכנאלאגיע. נאר ס'וועט זיכער קומען. אזוי אז די גאנצע ארבעט אין וועירהאוז וועט האבן אן אנדער פנים. ס'וועט זיצן אן ארבעטער און אריינלייגן די דעיטא פון ארדער אין זיין/איהר פאון. און דער פעקל וועט אראפפאהרן פונ'ם פלאטץ וואו ס'איז געהאלטן. גראד צום שיפפינג פלאטפארם. גרייט צו ווערן דעליווערט.

די טעכנאלאגיע דאס אדורכצופיהרן עקזיסטירט שוין היינט. ס'פעהלט נאך אויס עטליכע סטעפס דאס צו אראפצוברענגען אויף א פראקטישן לעוול.

נ.ב.: פאר די מענטשן וועלכע וועללן פרעגן א קשיא אויף מיינע ווערטער. ס'איז נישט קיין תוס' וואס מוז פארענטפערט ווערן. נאר איך מיין צו זאגן אז די טעכנאלאגיע איז שוין דא. מ'האט עס נאכנישט איינגעפיהרט אויף א פראקטישן לעוול. וואס וועט זיכער קומען מיט די צייט...!

מענין לענין (לענין וקצת) באותו ענין, אז מ׳רעדט פון פיר-עקן בתוך פיר-עקן איז דאס אן אינטרעסאנטע בילד ווי אזוי איינער האט געמאכט שטיקלעך פונעם שאך שפיל אז מען קען זיי צאמלייגן ווי א פיר-עק. ולענינינו, כעין א פיר-עק בתוך א פיר-עק פונעם אלגעמיינעם שאך ברעט.

ומענין לענין לענין באותו ענין, אן אינטרעסאנטע אַפּטיקעל אילוזיע איבער א סירקעל בתוך סירקעל.

מי אני האט געשריבן:און אפשר קען מען טאקע זאגן דערין א רמז צו דעם וואס אונז הא׳מיר עטליכע מאל אראפגעברענגט בשם ראזענצווייג אז זמן פאר אידן איז אן ענין פון א סירקעל (ואגב איז כידוע דא דער שינדווארט ״קייק״ קעגן אידן וואס שטאמט מיסודו פון דאס געדאנק פון א סירקעל ווען מ׳האט אימיגרירט קיין עליס איילענד). אז מ׳באמערקט אינעם בילד מאכט די אפּטימעל פּעקינג פון סירקעלס א כעין מגן דוד (וואס, אגב, ליגט אויך אין די פילאזאפיע פון ראזענצווייג), וואס האט טאקע זעקס קצוות.

די AMS [אמעריקאנע מאטעמאטיקס סאסייעטי] האלט אפ יעדעס יאר א קאנטעסט וואו מ׳איז מקשר פאעזיע מיט מאטעמאטיקס. דאס יאר [2020] איז די פאעזיע געווען איינע פון די געווינערס.

די עקוועישאן x² + y² = 1 איז די עקוועישאן פון א סירקעל [וואו די רעידיאוס איז 1]. זי האט נאכדעם גענומען דעם ״1״, וואס קען אויסזעהן ווי דעם [לאָערקעיס] לאטיינישן בוכשטאב l [״עֶל״], און צוגעלייגט דערצו ife צו מאכן life.

*

ובנוגע די קישן/סאַדי סירקעלס האט דר. פרעדעריק סאַדי דאס אויפגעוואוזן און געשריבן אלס א פאעזיע (צו וואס אנדערע האבן צוגעלייגט).

ובנוגע די סארט סירקעלס איז דא די אפּאלאניען גאסקעט. דאס איז אז כאמור ווען איך האב דריי סירקעלס וואס זענען נישט אייניג גרויס און וואס זענען טענדזשענט און ״קישן״ זיך איינע די אנדערע, איז זיכער דא נאך צוויי וואס זענען טענדזשענט צו אלע דריי אבער נישט טענדזשענט איינע צום אנדערן אליין [די נייע פערטע און פיפטע]. דערנאך, אויב נעם איך איינע פון די נייע סירקעלס ביחס צו נאך צוויי פון די אריגינעלע סירקעלס וואס עס ״קישט״, ווייס איך דאך אז די סעט מוז אליין פארמאגן נאך צוויי טענדזשענט סירקעלס - איינס וואס קישט אלע דריי און איינס וואס ״קישט״ נאר צוויי פון זיי. די וואס ״קישט״ אלע דריי איז די דריטע סירקעל וואס איז מיט זיי וואס איך ווייס שוין, אבער די נייע סירקעל וואס ״קישט״ נאר צוויי דארף איך יעצט אריינפילן. דערנאך קען איך גיין ווייטער און ווייטער אזוי.

אויב האב איך א סקווער און אלע אירע זייטן זענען 1 יוניט לאנג האט עס דאך אן עריע/שטח פון 1 [1x1]. אויב וויל איך עס דאָפּלען אין עריע (און עס זאל נאך אלס זיין א סקווער) דארף איך מאכן פיר ווענט וואס זענען אלע די לענג פונעם יעצטיגן אלכסון פונעם סקווער. דאס איז מכח דעם ווייל עס איז אלגעברעאיש מקושר צום פיטאגאריען טעארעם ביי אן אייסאַסיליִס רייט טרייענגעל (וואס קומט טאקע אויס דעמאלטס צו בערך אמתא ותרי חומשא).

דאס איז מקושר צום סקווער-קיוּבּ געזעץ. דאס לויטעט אז ווען איך מאך עפעס גרעסער ביי א געוויסע פאקטאר, וועט די עריע/שטח דערפון ווערן גרעסער ביי די סקווער פון אט די פאקטאר [די פאקטאר מאל די פאקטאר] און די וואליוּם דערפון וועט ווערן גרעסער ביי די קיוּבּ פון אט דעם פאקטאר [די פאקטאר מאל די פאקטאר מאל די פאקטאר]. אין אונזער פאל, אויב וואלט מען סתם געדאפעלט די לענג פון יעדעס וואנט, א פאקטאר פון 2, וואלט די שטח גרעסער געווארן מיט פיר מאל אזוי פיל; 2 מאל 2.

אפלטון דערציילט אין זיין מענאָ אז סקראט האט אויסגעשמועסט ווי אזוי צו דאָפּלען די שטח פון א סקווער מיט מענאָ׳ס אומוויסענדע קנעכט, און ווען ער האט צוביסלעך צוגעברענגט אז דאס קנעכט האט דאס אליינס משיג געווען געוואלט דאדורך צייגן אז א מענטש׳נס מדע (פון די מושכלות) ליגט שוין אין אים מעיקרא.

ומענין לענין באותו ענין פון סייקלוֺידס והמסתעף איז דא דאס רילוֺי טרייענגעל. דאס איז אז איך האב אן עקווילעטערעל טרייענגעל און איך מאך א קוּרוו פון איין עק צום צווייטן אזוי אז עס האט א קאנסטענט ברייטקייט. מיינענדיג אז יעדעס ארט אויפ׳ן קוּרוו וועט זיין די זעלבע ווייט פונעם עק פונעם טרייענגעל קעגן איבער. איך טוה דאס פאר אלע דריי זייטן. כזה:

וויבאלד דאס האט די קאנסטענט ברייטקייט איז אז איך דריי דאס, מיט א טינט אויף איין ארט, וועט דאס אויספארעמען בערך א סקווער. דעריבער זענען טאקע דא דריל בּיטס וואס האבן אזא שׁעיפּ.

מ׳האט דאס אויסגעברייטערט מיט׳ן מאכן די פראצעדור צו אנדערע פּאַליגאַנס (וואס האבן בדרך כלל אַן אַדד צאל פון זייטן); רילוֺי פּאַליגאַנס. אסאך מטבעות זענען אין די סארט שׁעיפּס.

ובנוגע טענדזשענט סירקעלס איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צום מיקיִ מאַוּס טעארעם. דאס לויטעט אז אויב איך האב א סירקעל און איך לייג דערויף טענדזשענט צו איר צוויי אנדערע סירקעלס, דערנאך מאך איך א גראדע ליין וואס איז (פונקט) טענדזשענט צו ביידע נייע סירקעלס, און איך מאך צוויי ליינס, איינס פון וואו איין סירקעל מיט׳ן ליין קומען צאם און איינס פון וואו די אנדערע סירקעל מיט׳ן ליין קומען צאם, גייען זיך ביידע אלס טרעפן אויף א פונקט אויפ׳ן אריגינעלעם סירקעל, און דארט אויב איך גיי מאכן נאך א ליין וואס איז טענדזשענט צו דעם פונקט וואו זיי קומען זיך צאם וועט דאס אלס זיין פונקט פאראלעל צום אויבערשטן ליין וואס איז טענדזשענט צו ביידע פונקטן פון די צוויי נייע סירקעלס.

בנוגע מאטעמאטיקס אין סירקעלס איז געווען א מנהג ביי די יאפאנעזער אין די איִדוֺ/טאַקוּגאַוואַ עפאכע [פון 1603 ביז 1868] וואס האט זיך גערופן סאַנגאַקוּ. דאס איז אז מ׳האט געברענגט צו די שׁינטאָ אדער בּודהיסט טעמפּלען דזשיאמעטרישע פראבלעמען און/אדער אנטשיידונגען אויפגעשריבען אויף טאבלעטן און דאס דארט אויפגעהאנגען. אסאך פון זיי זענען פארלוירן געגאנגען אבער בערך 900 זענען פארבליבען און אפגעשריבן געווארן. איין דוגמא:

צווישן זיי צב״ש איז דא עפעס וואס האט א שייכות צו די פאָרד סירקעלס. דאס איז אז אויב האט מען צוויי סירקעלס וואס ביידע ליגן אויף/זענען טענדזשענט צו א ליין און איינע צום צווייטן און אינצווישן זיי איז דא א דריטע סירקעל וואס איז אויך טענדזשענט צום ליין און צו זיי ביידע, וועט די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די ערשטן׳ס רעידיאוּס [חצי רוחב] מיט די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די צווייטן׳ס רעידיאוּס זיין די רעסיפּרעקאל פון די סקווער-רוּט פון די מיטעלסטען׳ס רעידיאוּס.

אויף א סאַנגאַקוּ איז געווען די יאפאנעזער טעארעם פאר סייקליק קוואדלעטערעלס. דאס לויטעט אז אויב האב איך א פיר-עקיגע שּׁעיפּ/פּאַליגאַן וואס איך קען (כנ״ל) סירקוּמסקרייבּן, איז ווען איך מאך אן אלכסון דערין פון איין עק צום פארקערטן עק קעגנאיבער [באלכסון] און איך טוה דאס צו ביידע זייטן, וואס צוטיילט דאס אין צו פיר טרייענגעלס וועלן די פיר סענטערס פון די אינסקרייבּד סירקעלס וואס איך קען מאכן אין די פיר טרייענגעלס [די אינסענטערס] זיין די פיר עקן צוזאמען פון א [גראדן] רעקטענגעל.

אויך אויף א סאַנגאַקוּ איז געווען דאס יאפאנעזער טעארעם פאר סייקליק פּאַליגאַנס. דאס לויטעט אז אויב האב איך א שׁעיפּ וואס איז טאקע עקעדיג אבער איך קען דאס סירקוּמסקרייבּן מיט א סירקעל, והיינו דאס ארומנעמען מיט א סירקעל אזוי אז עס די עקן פונעם שׁעיפּ/פּאַליגאַן זאלן פונקטליך אנרירן [טענדזשענט] אויפ׳ן סירקעל, דעמאלטס נישט קיין חילוק ווי אזוי (און וויפיל) איך וועל טרייענגולעיטן דעם שׁעיפּ [דאס צוטיילן אין צו טרייענגעלס] וועלן די סומעס פון די רעידיאיי צוזאמען פון די אלע סירקעלס וואס איך קען אינסקרייבּן און מאכן אין די טרייענגעלס אז זיי זאלן זיין (פונקטליך) טענדזשענט צו די טרייענגעלס אלס [די אינרעידיאיי] זיין אייניג.

דאס איז מקושר צו קארנאט׳ס טעארעם וואס לויטעט אז אויב האב איך א טרייענגעל און איך סיי סירקומסקרייבּ א סירקעל ארום דעם און סיי אינסקרייבּ א סירקעל אין דעם. דעמאלטס וועט די מאס פון די לענג פונעם סענטער פון די גרויסע סירקומסקרייבּד סירקעל צו יעדעס איינס פון די טרייענגעלס ווענט [אויב איז די לענג צו א וואנט אינגאנצן אינדרויסן פונעם טרייענגעל דעמאלטס איז דאס א נעגאטיווע לענג] זיין די זעלבע ווי די מאס פונעם רעידיאוס פונעם סירקומסקרייבּד סירקעל [די סירקומרעידיאוס] צוזאמען מיט׳ן רעידיאוס פונעם אינסקרייבּד סירקעל [די אינרעידיאוס].

אביסל ענליך צו דעם סוגיא איז דא דעם געדאנק פון סעליולאר אָטומאַטאַ. דאס ארבעט אז איך האב א לעטיס/גרעף פון צעלן/קעסטעלעך. יעדעס קעסטל קען האבן א פיניט צאל פון ״סטעיטס״: בדרך כלל א בּיינערי סטעיט פון ״אנגעצינדען״ אדער ״אויסגעלאשען״. די ארומיגע צעלן ארום דעם צעל ווערן אפעקטירט דורך די סטעיט פון דעם צעל, ווענדענדיג זיך אין געזעצן וואס ווערן אראפגעשטעלט פאר דעם.

ארומיגע צעלן קענען ווערן גערעכענט ווי די פיר וואס זענען ממש דערנעבן און שׁעירן א גאנצע זייט מיט׳ן קעסטל/צעל; נישט די וואס זענען נאר ביים עק/דייעגנאל. דאס ווערט גערופן דעם וואן-ניומאן נעיבּאָרהוד. ווי אויך איז שייך אז די ארומיגע ווערן גערעכענט ווי אלע אכט צעלן וואס נעמען דאס ארום; די ביי די עקן אויך. דאס ווערט גערופן דעם מוּר נעיבּאָרהוד.

א פשוט׳ע משל דערין איז די אוּלאַם-וואָרבּוּרטאָן סעליולאר אָטומאַטאן. דאס איז אז איך הייב אן מיט אלע קעסטעלעך/צעלן וואס זענען אויסגעלאשן און מען צינד אָן איינס. די געזעצן זענען אז אויב איינס איז אנגעצינדען טוהט עס אנצינדען די קעסטעלעך וואס זענען אין איר וואן-ניומאן נעיבּאָרהוד, אבער נאר טאמער די קעסטל איז נישט באהאפטן צו קיין שום אנדערע אנגעצינדענע קעסטל; נאר צו איין אנגעצינדענעם קעסטל. עס קומט אויס אז די סעלולאר אָטומאַטאן טוהט שאפן פרעקטעלס און קומט צוריק צו א פארמאכטע קעסטל (מיט לעכער אינדערמיט) יעדעס מאל מ׳האלט ביי א פּאַוּער פון 2 [א נומער וואס איך קען באקומען פון צולייגן אן עקספּאנענט אויף 2] מאל וואס מ׳טוהט דעם פראצעדור. דאס זעלבע גייט זיין ווען די פראצעדור ווערט געמאכט וואו די צעלן זענען העקסאגאנס אנשטאט קעסטעלעך. די סיערפּינסקי טרייענגעל איז אויך ענליך אין דעם אז עס קומט צוריק צו א פארמאכטע טרייענגעל נאכ׳ן האבן דורכגעפירט דעם פראצעדור אזויפיל מאל. (די סעליולאר אָטומאַטאן וואקסט ביי די עקן ביז עס פארמאכט זיך.)

דער בריטישער מאטעמאטיקער דר. דזשאן האָרטאָן קאַנוועי האט געמאכט א סעליולאר אָטומאַטאן וואס ער האט גערופן דעם געים פון לעבן, וויבאלד דאס טוהט כעין מאדעלן די עוואלוציע פון באשעפענישן אין אַן עקאָסיסטעם. די צעלן האבן צוויי סטעיטס, ״לעבן״ אדער ״טויט״, וועלן אפעקטירן די מוּר נעיבּאָרהוד ארום זיי. די געזעצן דערין זענען ווי פאלגענד:

1). א לעבעדיגע צעל בלייבט לעבעדיג נאר אויב עס האט צוויי אדער דריי לעבעדיגע שכנים. אויב האט עס ווייניגער ווי דעם (צי ווייניג קינדער/אונטערפּאפּולעישאן) אדער מער (אָווערפּאַפּולעישאן) שטארבט עס.

2). אויב האט א טויטע צעל דריי לעבעדיגע שכנים ווערט דאס לעבעדיג (עס ווערט ״געבוירן״).

עס איז דא א קוּרוו וואס ווערט גערופן דאס מכשפה פון אַגנעסי. דאס ווערט געשאפן דורך דעם וואס מ׳האט צום ערשט א געהעריגע סירקעל. דערנאך האב איך א גראדע האריזאנטעל ליין טענדזשענט צום אויבן פונעם סירקעל. נאכדעם מאך איך א סעקאנט ליין, וואס מיינט א ליין וואס גייט דורך די ווענט פונעם סירקעל אויף צוויי מקומות, פון דעם אונטערשטן פלאץ פונעם סירקעל וואס גייט אנקומען צום אויבערשטן טענדזשענט ליין. ווי איך רוק דעם סעקאנט ליין מאך איך דערנאך פונעם צווייטן פלאץ וואו די סעקאנט ליין גייט דורך א האריזאנטעל גראדע ליין. וואו די סעקאנט ליין קומט זיך צאם מיט׳ן אויבערשטן האריזאנטעל ליין מאך איך דערנאך א ווערטיקעל ליין אראפ צו דעם האריזאנטעל ליין וואס ווערט געשאפן פונעם סעקאנט ליין הנ״ל; אין אנדערע ווערטער אזוי ווי א טרייענגעל [די אויבערשטע האריזאנטעל און ווערטיקעל אראפ זענען די גראדע ווענט און די סעקאנט ליין איז די אלכסון]. ווי איך רוק דעם סעקאנט ליין גייט די פראצעדור שאפן א קוּרוו. דאס איז די מכשפה פון אַגנעסי. כזה:

(ס׳איז מעגליך אז) מ׳רופט דאס די ״מכשפה״ פון אַגנעסי וויבאלד דער וואס האט איבערגעטייטשט דאס וואס מאַריִאַ גאַעטאַנאַ אַגנעסי וואס האט דאס שטודירט האט דאס גערופן, האט זיך טועה געווען און דאס איבערגעטייטשט צו ״מכשפה״.

רעדענדיג פון אַפּטימעל פּעקינג איז אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו וואס דער עיקרים זאגט אין זיין הקדמה:

שאף על פי שאין מדרך הדבורה כפי טבע חמרה שימצא בה ההבנה לבנות הבתים ההם מהשעוה שהדבש כנוס בתוכה בתמונת הששיות [העקסאגאן], להיות הפועל מבחר הפועלים נתן בה הבנה לבנותם בתמונה הזאת, להיותה דומה לעגולה שהיא התמונה הטבעית, ויש לה יתרון עליה, שבתמונת הששיות יתמלא כל השטח והפנוי אשר במוגשם ממשושים סמוכים זה לזה כדי שלא ישאר מקום פנוי וריקם ביניהם, מה שאין כן בעגולה, שאם יעשו הבתים עגולות כדמות אסטוא"נה סמוכות זו לזו ישאר מקום רב ביניהם שלא יקבלו תועלת ממנו, לפיכך בנאום בתמונת הששיות ולא עשאום מעוגלים, גם לא בנאום מרובעים, כי אף על פי שבסמיכת בתים מרובעים זה לזה יתמלא כל השטח והפנוי אשר במוגשם, הנה להיות תמונת המרובע יותר רחוקה מלהדמות אל העגולה שהיא התמונה הטבעית מן המשושה לא בנאוה ממנו

מדברי ניקולאס פון קוסא. ער האט געזאגט נאך מער אז דאס ליגט טאקע דערין אז מ׳קען נישט סקווער׳ן דעם סירקעל.

ומענין לענין באותו ענין פון פאעזיע ומדע, ווען ראנעלד ראָס האט געטראפן דעם מאלעריע צעל אין מאָסקיִטוס האט ער דאס פארפאסט:

This day relenting God
Hath placed within my hand
A wondrous thing; and God
Be praised. At his command,
Seeking his secret deeds
With tears and toiling breath,
I find thy cunning seeds,
O million-murdering Death.
I know this little thing
A myriad men will save,
O Death, where is thy sting?
Thy victory, O Grave?

דערמאנענדיג דעם סקווער-קיוּבּ געזעץ איז אינטרעסאנט צו דערמאנען קלייבּער'ס געזעץ אין ביאלאגיע. דאס לויטעט אז ווי מער די מאסע פון א באשעפעניש איז (ביי רוב באשעפענישן), גייט די מעטעבּאליק ראטע [די ראטע פון ווי אזוי די באשעפעניש געבט אויס/ניצט ענערגיע פער צייט-אפשניט] ארויף לויט די מאסע געהעכערט צו אן עקספאנענט פון 3/4 [דאס מיינט אז איך העכער די מאסע צו אן עקספאנענט פון 3 און דערנאך נעם איך די פערטע רוּט דערפון]. אין אנדערע ווערטער מיינט דאס אז הגם זייענדיג גרעסער דארף עס (אויסצוגעבן/ניצן) מער ענערגיע איז אבער וואקסט עס נישט פראפארציאנאל ליניערלי, והיינו אויב איז עס צוויי מאל גרעסער דאן צוויי מאל אזא גרויסע מעטעבּאליק ראטע [אן עקספאנענט פון 1], נאר ווייניגער ווי דעם. דאס איז ווייל די באשעפעניש ניצט ענערגיע מער עפישענטלי.

במושכל ראשון עפ"י די סקווער-קיוּבּ געזעץ וואלט מער געשטימט אז דאס זאל זיין עפ"י אן עקספאנענט פון 2/3. די סיבה פארוואס עס איז נישט ממש אזוי איז ווייל די סיסטעם וואס דיסטריבּיוּט וכו' די ענערגיע איז מער דומה צו א פרעקטעל ווי גרעסער די באשעפעניש איז.

עס איז אינטרעסאנט אז די מאדעל האט אויך ענליכקייטן בנוגע די וואוקס פון די גרויסקייט פון א שטאט און ווי אזוי די אינפראסטרוקטור וכו' חלקים דערין וואקסן לפי"ז.

די זענען געזעצן בתוך די פעלד פון עלאָמעטרי, וואס איז די לעהרע פון ווי אזוי די סייז פון די באשעפעניש איז פועל אויף אירע אנדערע כאראקטעריסטיקס. אן אנדערע געזעץ אין די תחום איז אז די הארץ-קלאפ און אטעמען ראטע פון א באשעפעניש איז 1 דיוויידעד ביי די פערטע רוּט פון איר מאסע; ווי גרעסער אלס שטאטער. ווי אויך אז דאס גוטע שנעלקייט פון דאס פליען פון אן באשעפעניש/אביעקט איז די זעקסטע רוּט פון איר מאסע.

בנוגע שׁעיפּס איז דא א זאך וואס ווערט גערופן אן עקוויליבּריִאוּם פּונקט. דאס קען זיין אדער סטאבּיל אדער אומסטאבּיל. א סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט באדייט אז ווען איך שטעל די שׁעיפּ אראפ דארט גייט עס געהעריג רוהען דארט. צב״ש, די זעקס פנימ׳ער פון א קיוּבּ זענען אירע סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן. אן אומסטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט באדייט אז בעצם איז ביי דעם פונקט די וואג וכו׳ דערפון באלאנצירט ארום און ארום און עס וואלט טעארעטיש געקענט שטיין דארט [קונצליך] אבער עס איז אומסטאבּיל און עני קליינע ריר וכו׳ גייט דאס אומווארפן און עס וועט רוהען אויף איינע פון אירע סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן. ביי א קיוּבּ וועלן אירע פיר עקן זיין אירע אומסטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקטן.

מ׳האט אלס געקלערט אז יעדעס קאנוועקס שׁעיפּ מוז האבן מינימום 4 עקוויליבּריִאוּם פּונקטן אלעס צוזאמען. ווי אויך אז אויב א קאַנוועקס שׁעיפּ האט נאר איין סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט, עס איז מאנאָ-מאנאָסטעטיק, דאן איז עס נישט האָמאָדזשעניִאוס, והיינו אז עס איז נישט (מער-ווייניגער) די זעלבע דענס דורכאויס.

מ׳האט אבער אויפגעוואוזן אז עס איז דא א קאַנוועקס שׁעיפּ, גערופן א גאָמבּאָק, וואס איז יא האָמאָדזשעניִאוס און עס האט נאר 2 עקוויליבּריִאוּם פּונקטן; איין סטאבּילע און איין אומסטאבּילע.

עס זענען דא טשעריפאכעס וואס האבן עוואלווד אן ענליכע סארט שׁעיפּ פאר זייערע שׁעלס און דאדורך דרייען זיי זיך אטאמאטיש איבער גראד צו זייער סטאבּילע עקוויליבּריִאוּם פּונקט.

אין טאפאלאגיע איז דא די געדאנק פון א נאַן-אָריענטיבּל סורפעס. דאס באדייט אז מ׳קען צו דעם זאך נישט געבן א הגדרה פון clockwise צי counterclockwise און עס זאל אזוי בלייבן דורכאויס. א באקאנטע משל דערצו איז דאס מויבּיִאוּס סטריפּ. דאס איז ווען איך נעם א בענדל, צושנייד עס אינדערמיט, דריי עס איבער, און באהעפט עס צוריק. כזה:

דער מאטעמאטיקער פיליקס קליין האט שטודירט א סארט נאַן-אָריענטיבּל שׁעיפּ גערופען א קליין באטל.

דאס קומט אפיר ווען מען שטעלט צאם צוויי מויבּיִאוּס סטריפּס. די קליין באטל קומט באמת אפיר אין 4 דיימענשאנס; אין 3 דיימענשאנס מוז זיך דאס אליין אינטערסעקטן אריין.

דער קאנאדישער מאטעמאטיקער ליִאוֺ מויסער האט געמאכט א פאעזיע דערפון:

וויבאלד אונז האבן אויבן געזאגט אז א רילוֺי טרייענגעל האט קאַנסטענט ברייטקייט, והיינו אז אויב מען מאכט צוויי פּאראלעל ליינס וואו אימער אויף די צוויי זייטן דאן זענען די ליינס אלעמאל די זעלבע ווייט איינע פון דאס אנדערע.

ביי אזעלכע סארט שׁעיפּס איז דא בּאַרבּיער׳ס טעארעם וואס לויטעט אז די היקף פון די שׁעיפּס גייען אלעמאל זיין אט די ווייטקייט צווישן די צוויי ליינס וואס מ׳מאכט טיימס π - נישט קיין חילוק ווי אזוי די עצם שׁעיפּ איז.

***

עס איז אויך אינטרעסאנט צוצוצייכענען צו בּאָפאַנ׳ס נודל. דאס איז אז אויב האב איך אסאך נודלעך וואס זענען אלע די זעלבע לאנג, און איך האב א פּאַרקעי פלאָר וואס די ווייטקייט פון איין ליין אויפ׳ן פלאָר ביז׳ן אנדערן ליין איז ווייט צוויי מאל די לענג פון א נודל, און איך ווארף אראפ אויף די פלאָר די נודלעך, וועט די פּראָפּאָרשען פון נודלעך וואס גייען אריבער א ליין פון/ביחס צו אלע נודלעך זיין (בערך) π.

יוסף בּאַרבּיער האט דאס אויסגעברייטערט אז נישט קיין נפק"מ וואספארא שׁעיפּ דאס איז, וועט די עקספּעקטעד צאל פון וויפיל מאל עס וועט אדורכגיין א ליין, צי ליינס, אויף די פלאָר זיין אזויפיל וויפיל מאל די לענג פון די שׁעיפּ איז, אין טערמינען פון די ווייטקייט פון איין ליין ביז'ן צווייטן, טיימס 2 דיוויידעד ביי π.

הרב דר. נדב שנרב ברענגט דאס צו:

כ'בין זייער נייגעריג וואס ער זאגט דא, איך פארשטיי נישט אינגאנצן/בכלל, אויב איר קענט כאטש אויפן שפיץ גאפל מסביר זיין וואלט איך שטארק דאנקבאר געווען.

אז ראי"ל שטיינעמאן זצ"ל האט געזאגט:

1). אז די עקן פון א שׁעיפּ מאכט די שׁעיפּ פיזיש שוואכער ווי ווען עס איז אַן עיגול אָנע עקן

2). מפי הירושלמי אז בהבריאה בטבע זענען זאכן ווי מער קרוב לעיגול וואס איז א שלימות

3). די גר"א האט אבער געהאלטן אז די וועלט אליין איז יא מרובע ואפשר שאינה נחשבת מן הבריות. און דאס וואס עס ווערט מבואר בתוס' אז אלכסנדר מוקדון האט געזעהן פון אויבן אז די וועלט איז אן עיגול איז נאר פון אויבן אבער פון אונטן מתחת לים זעהט מען יא אז עס איז עקעדיג

4). אז מ'קען משווה זיין דעם גר"א מיט די מציאות אז ער מיינט אז די יבשה איז מרובע ווי מ'זעהט אויף מאפעס (אבל באנו לענין פרעקטעלס)

5). דאס וואס מ'מיינט מיט דעם אז א"י איז גבוהה מכל הארצות איז מכח דעם ווייל די ימ'ען ארום דעם זענען טיפער ווי אנדערע ימ'ען

מי אני האט געשריבן:5). דאס וואס מ'מיינט מיט דעם אז א"י איז גבוהה מכל הארצות איז מכח דעם ווייל די ימ'ען ארום דעם זענען טיפער ווי אנדערע ימ'ען

דער מידעדרעיניען ים איז נישט עפעס ווייסעכוואס טיף, שוין, מען שטארבט נישט פון קיין קשיא, ניין?

מי אני האט געשריבן:3). די גר"א האט אבער געהאלטן אז די וועלט אליין איז יא מרובע ואפשר שאינה נחשבת מן הבריות. און דאס וואס עס ווערט מבואר בתוס' אז אלכסנדר מוקדון האט געזעהן פון אויבן אז די וועלט איז אן עיגול איז נאר פון אויבן אבער פון אונטן מתחת לים זעהט מען יא אז עס איז עקעדיג

ווי אזוי קען מען זאגן שאינה נחשבת מן הבריות, אפילו שטערנס ווערן אנגערופן בריות? (אזוי מיין איך)

אגב, קלער איך יעצט אויב די עקן מאכן די "שעיפּ" שוואכער, אדער די עקן זענען די שוואכערע חלק פונעם "שעיפ" .?

אין סירקעלס איז דא די געדאנק פון די פּאַוער [כח] פונעם פונקט. דאס איז אז ווען איך האב א פונקט און א סירקעל דאן וועט די פּאַוער [כח] פונעם פונקט זיין די סקווער פון די ווייטקייט פונעם פונקט ביז׳ן סענטער פונעם סירקעל, און מ׳נעמט אראפ דערפון די סקווער פונעם רעידיאוס פון דעם סירקעל. עס קומט אויס אז אויב איז די פונקט אינדרויסן פונעם סירקעל (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער מער ווי די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן וועט די ״כח״ זיין פאזיטיוו, אויב איז די פונקט אינעווייניג אינעם סירקעל (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער ווייניגער ווי די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן איז די ״כח״ נעגאטיוו, און אויב ליגט דאס אויפ׳ן סירקומפרענס ממש (וממילא איז די ווייטקייט דערפון פונים סענטער ממש די עצם רעידיאוס פונעם סענטער ביז׳ן סירקוּמפרענס) דאן איז די ״כח״ 0.

עס קומט אויך אויס אז טאמער די פונקט איז אינדרויסן און עס מאכט א טשאָרד דורך די סירקעל איז די ווייטקייט פון די פונקט ביז עס רירט אָן דעם סירקוּמפרענס צום ערשטן מאל טיימס די ווייטקייט פון די פונקט ביז עס רירט אָן דעם סירקוּמפרענס צום צווייטן מאל אויך די פּאַוער [כח] פונעם פונקט.

ובנוגע די געדאנק פון זעהן א קשר און ארויסהאבן דזשיאמעטריק אינפארמאציע פון א רעקטיליניער/״עקעדיגע״ שׁעיפּ צו א סירקולער שׁעיפּ [״סקווערן דעם סירקעל״ והיפוכו], איז עפ״י דעם פּיטאגאָריען טעארעם קומט דאך בעצם אויס אז יעדעס זעלבן שׁעיפּ איך זאל נאר מאכן ארום דעם רייט טרייענגעל וואו די ווענט פונעם טרייענגעל זענען די בּעיסעס פון די שׁעיפּס, וועט די עריע פונעם שׁעיפּ [דהיינו די ״סקווער״ דערפון] אויפ׳ן היפּאטענוּס זיין די סומע פון ביידע עריעס וואס זענען אויף די אנדערע צוויי ווענט. דא איז א משל וואו איך מאך דערויף פּענטעגאנס:

אדער וואסערע שׁעיפּ עס זאל נאר נישט זיין, ווילאנג אלע שׁעיפּס זענען סימילער און די זעלבע:

וממילא טאמער מאכט מען אויף אלע דריי זייטן פון א רייט טרייענגעל סעמיסירקעלס כזה:

וואס איך ווייס אז די עריע פון די גרעסטע סעמיסירקעל איז די סומע פון די צוויי עריעס פון די צוויי קליינע סעמיסירקעלס. דערנאך רעפלעקטיר איך די גרעסטע סעמיסירקעל אריבער דעם היפּאַטענוּס, וואס איז איר דיאמיטער, כזה:

גייט אויסקומען אז עס שניידט אריין אין די צוויי קלענערע סעמיסירקעלס און מאכט זיי אין צו לוּנס/א ״לבנה״ שׁעיפּ. כנ״ל ווייס איך דאך אז די גרעסטע סעמיסירקעל איז די סומע פון די עריעס פון ביידע קליינע. קומט אויס אז יעצט וואס איך האב דאס ארומגעדרייט איז די עריע פון די טרייענגעל, וואס די גרעסטע איז יעצט כולל, און די קליינע שטיקלעך וואס איך שנייד ארויס פון זיי ביידע די זעלבע ווי די סומעס פון די עריעס ״לבנות״ מיט דאס וואס איך שנייד ארויס פון זיי ביידע. קומט דאך אויס אז די עריעס פון ביידע ״לבנות״ אליינס זענען דאס זעלבע ווי די עריע פונעם טרייענגעל.

עס זענען דא פינעף, און נאר פינעף, לוּנס וואס מען קען מאכן אין צו א סקווער (נוצענדיג נאר א קאָמפּעס און סטרעיטהעדזש).

לגבי די סקווער-קיוּבּ געזעץ האט אין די צייטן פון אפלטון אויסגעבראכן א מגיפה פון טיפוס ל״ע. די נביאה פון דעלפי האט געזאגט פאר די יוונים אז כדי צו זיין באשיצט דערפון דארף מען בויען א מזבח וואס איז פונקט צוויי מאל אזוי גרויס אין וואַליוּם ווי די יעצטיגע וואס זיי האבן. זיי האבן פארשטאנען אז עפ״י די געזעץ הנ״ל דארפן זיי דאס גרעסער מאכן מיט די פאקטאר פון די קיוּבּיק-רוּט פון 2, אבער זיי האבן נישט געהאט די כלים וכדומה דאס צו קענען אויסרעכענען און מעסטן. ארעטאסטעניס פארציילט אז ווען די חכמים זענען דאס געקומען פארציילן פאר אפלטון האט ער זיי געזאגט אז די נביאה דארף נישט די מזבח; זי וויל זיי פשוט פארשעמען מיט זייער אומקענטעניס. כידוע איז העכער די פתח פון אפלטון׳ס אקאדעמיע געווען געשריבן, ״איינער וואס קען נישט דזשיאמעטרי זאל נישט אריינטרעטן דא״.

ולגבי קוּרווס וואס ווערן אויסגעפארעמט אויף א ספעציעלן סארט וועג איז דא די געדאנק פון א טרעקטריקס. דאס איז ווען איך האב (צב״ש) א שטעקן און איך בלייב אויף די זעלבע ליין. צום ערשט שטופּ איך דעם שטעקן א גאנצע צייט מער אוי מער ארויף, און דערנאך אראפ. די קוּרוו וואס דאס פארעמט אויס איז א טרעקטריקס. כזה:

דאס איז אין די משפחה פון וואס ווערט גערופן פּוּרסוּט קוּרווס, וואס זענען קוּרווס וואס ווערן געשאפן ווען יעדעס פונקט אויף וואס מען איז דן הייבט אָן צו ״גיין״, אויף די זעלבע צייט, צו די אנדערע פונקט; זיי דארפן אין איין האלטן טוישן זייער ״גיין״ - זיי לויפן זיך איינע די אנדערע נאך. מ׳רופט דאס די ״מייז פראבלעם״, וואו מ׳האט עפעס א שׁעיפּ/פּאַליגאַן און פון יעדע פון אירע עקן הויבט יעדעס מייז אָן גיין צום מייז נעבן איר. זיי שאפן א ספּיירעל ביז זיי קומען אלע אָן צום מיט׳ן פונעם שׁעיפּ. למשל ביי א סקווער: